Binomická věta je zobecněním klasických vzorců typu (a+b)2 za pomocí kombinačních technik.
Jistě znáte vzorce pro výpočet (a+b)2 nebo (a+b)3:
A přirozenou otázkou je, jestli nelze tyto vzorce zobecnit pro libovolné přirozené číslo n, tj. lze vypočítat (a+b)n?
Samozřejmě to lze a slouží k tomu právě binomická věta. Zkusíme se podívat, jak by tento rozvoj pokračoval dále pro n = 4, 5.
Už byste měli vidět jistý vzor. Pokud máme výraz (a+b)n, tak na pravé straně vždy začínáme členem an. Druhý člen také obsahuje proměnnou a, ale exponent je o jedna nižší. Pro příklad: u rozkladu (a+b)4 máme na pravé straně v prvním členu a4 a ve druhém a3. Každý další člen obsahuje proměnnou a s o jedna nižším exponentem, než předchozí člen. Proměnná b naopak roste. Na začátku proměnnou b nemáme, respektive máme, ale s exponentem nula: b0 = 1. Ve druhém členu má pak b exponent jedna, pak dva atp.
Při tom všem platí jednoduché pravidlo, že součet exponentů musí být vždy roven n. Pokud vezmeme v úvahu poslední rozložení (a+b)5, tak například třetí člen je 10a3+b2 a součet exponentů u proměnných a a b je právě 5.
Poslední věc je, jaká budou koeficienty (ta čísla před proměnnými) u každého členu. Určitě si všimnete, že ty koeficienty jsou symetrické: u (a+b)4 máme koeficienty 1, 4, 6, 4, 1, u (a+b)5 máme: 1, 5, 10, 10, 5, 1. Připomínám, že a4 = 1· a4, proto tam tu jedničku píši, i když ji explicitně neuvádím ve vzorcích. Další vztah si ukážeme na Pascalově trojúhelníku.
Pascalův trojúhelník je šikovná pomůcka při počítání rozvoje podle binomické věty. Pascalův trojúhelník je tvořen čísly a platí, že číslo, které se nachází pod nějakými jinými dvěma čísly, se rovná jejich součtu. Zní to krkolomně, ale ze samotného trojúhelníku to bude jasné:
Pascalův trojúhelníkPodívejte se například na číslo čtyři. Nad tímto číslem se nachází čísla 1 a 3. A součet 1+3 dává právě 4. Podobně pro ostatní čísla.
A jak Pascalova trojúhelníku využijeme? Když se podíváte na čísla na jednotlivých řádcích, tak zjistíte, že vám velmi připomínají koeficienty u výsledného binomického rozvoje. Například u (a+b)2 máme koeficienty 1, 2, 1, což je přesně druhý řádek. Pro (a+b)4 máme koeficienty 1, 4, 6, 4, 1, což je přesně čtvrtý řádek. Pokud potřebujeme vypočítat (a+b)n, tak se stačí podívat na n-tý řádek Pascalova trojúhelníku.
Formálně binomická věta zní takto:
Sumu počítáme od nuly do n, včetně. Tedy výsledný počet sčítanců je n+1. Ta věc v závorkách je kombinační číslo, což je věc z kombinatoriky a představuje počet různých kombinací, z kterých můžeme získat daný člen binomického rozvoje. Zbytek už jsou jen proměnné s patřičnými exponenty. Všimněte si, že součet exponentů se opravdu rovná n: n−k+k = n.
Jednoduchý příklad: vypočtete pomocí binomické věty (a+2b)4. Jako první se podíváme do Pascalova trojúhelníku na čtvrtý řádek. Ten nám říká, že koeficienty budou mít podobu: 1, 4, 6, 4, 1. Teď už zbývá jen postupně doplňovat exponenty. V prvním členu bude jen a4:
V druhém členu máme exponenty rozloženy do dvojice 3, 1, tedy dostáváme a3(2b)1. umocnění na prvou nám s výrazem nic neudělá, takže můžeme napsat a32b. Koeficient u druhého členu je 4:
Třetí člen bude mít exponenty 2, 2. Tady trochu pozor, umocňujeme celé 2b, tedy takto: (2b)2, což se rovná: (2b)2 = 4b2. Dopíšeme do rozvoje s koeficientem 6:
Čtvrtý člen bude mít tvar a(2b)3. Po umocnění dostaneme a8b3. Dopíšeme s koeficientem 4:
A poslední člen bude už jen (2b)4 = 16b4:
Teď už jen mírně poupravit. Ve členu 4a32b můžeme dát dvojku na začátek členu a vynásobit 2·4 = 8. Vznikne nám tak 8a3b. Pokud to tak uděláme i po zbytku, dostaneme výsledek:
Všimněte si prosím, že v tuto chvíli už nesedí koeficienty s čísly v Pascalově trojúhelníku.
Nevíte-li si rady s řešením příkladu, nechte si ho vyřešit odborníky. Nebo se zeptejte na matematickém fóru.
