Binomické rovnice

EU Agency -- individuální doučování a jazyková výuka po celé ČR

Binomická rovnice je algebraická rovnice.

Definice

Obecný tvar binomické rovnice vypadá takto:

kde a, b jsou libovolná reálná či komplexní čísla. Dále předpokládáme, že a, b≠0 a že n je přirozené číslo.

Speciální případy binomické rovnice:

n = 1: Rovnice pak má tvar ax+b = 0 a jedná se o lineární rovnici.
n = 2: Rovnice má tvar ax²+b a jedná se o kvadratickou rovnici.

Každou binomickou rovnici můžeme převést do normovaného tvaru tak, že rovnici vydělíme číslem a. Rovnice pak bude mít tvar:

$alt: x^n+\frac{b}{a}=0$

Můžeme ještě provést substituci a místo zlomku b/a můžeme psát c. Tedy pokud c = b/a, pak bude mít rovnice tvar:

Jak řešit binomickou rovnici

Rovnici nejprve převedeme do normovaného tvaru, následně přesuneme c na pravou stranu a tím získáme tvar rovnice

Dále celou rovnici odmocníme n-tou odmocninou.

$alt: x=\sqrt[n]{-c}$

Dále tuto rovnici řešíme pomocí vzorce pro odmocňování komplexních čísel. Ten vypadá takto:

$alt: \sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}\left[\cos\left(\frac{\alpha}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{\alpha}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)\right]$

přičemž platí

$alt: z=|z|(\cos\alpha+i\sin\alpha)$

a celý vzorec platí pro k = 0, 1, …, n−1.

Příklad: vypočítejte kořeny rovnice x³−4 = 0. Po normalizování a odmocnění bude mít rovnice tvar:

$alt: x=\sqrt[3]{4}$

Protože číslo c = 4, tedy nemá žádnou imaginární složku, bude úhel α rovný nule a můžeme ho tak vypustit ze vzorce. k-tý kořen rovnice bude mít tvar:

$alt: x_k=\sqrt[3]{4}\left[\cos\left(\frac{2k\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{2k\pi}{3}\right)\right]$

Nyní musíme tenhle vzorec aplikovat pro k = 0, 1, 2. Pro k = 0 dostaneme:

$alt: x_0=\sqrt[3]{4}(\cos0+i\sin0)=\sqrt[3]{4}$

Pro k = 1:

$alt: \parstyle\begin{eqnarray*} x_1=\sqrt[3]{4}&=&\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right)\\ &=&\sqrt[3]{4}\left(-\frac12+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\ &=&\frac12\sqrt[3]{4}(-1+i\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$

Pro k = 2:

$alt: \parstyle\begin{eqnarray*} x_2=\sqrt[3]{4}&=&\left(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\right)\\ &=&\sqrt[3]{4}\left(-\frac12-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\ &=&-\frac12\sqrt[3]{4}(1+i\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$

A to je vše, máme tři kořeny x₀, x₁ a x₂.

Binomické rovnice

Definice

Jak řešit binomickou rovnici

Další zdroje

Potřebujete pomoc s příkladem?

Našli jste chybu?

Email (nepovinné):
Text zprávy:
Jaký je 11. měsíc v roce?