Definiční obor funkce

EU Agency -- individuální doučování a jazyková výuka po celé ČR

Definiční obor funkce jsou všechny přípustné hodnoty, které můžeme ve funkci f(x) dosadit za argument x tak, aby daná funkce měla smysl.

Co je to definiční obor funkce

Jednoduchým příkladem může být funkce y = 1/x. Zde je naprosto evidentní, že za argument x můžeme dosadit jakékoliv reálné číslo, vyjma nuly. Nulou dělit neumíme, proto by daná funkce neměla smysl. Definiční obor této funkce by byl D(f) = R − {0}.

Teď jedna technická poznámka. Definičním oborem předchozí funkce může být klidně interval (2, 3). Například v goniometrii se často počítá jen s intervalem <0, 2π>. To je všechno v pořádku, stále se jedná o intervaly, pro něž má daná funkce smysl. Pokud však máte za úkol zjistit definiční obor funkce, obvykle se po vás chce vypočítat maximální definiční obor.

Výpočet definičního oboru

Abyste vypočetli definiční obor nějaké složené funkce, musíte znát definiční obory všech funkcí, ze kterých se složená funkce skládá. Jinak to nejde. Pokud bych vám zadal vypočítat definiční obor funkce f(x)=fň x + kř x, nepochodíte, protože nevíte, jak jsou funkce fň a kř definované. Rozhodně se tudíž vyplatí znát definiční obory základních funkcí. Namátkou:

Logaritmus má definiční obor R⁺; kladná čísla (bez nuly).
Odmocnina má definiční obor R⁺₀; kladná čísla (včetně nuly).
Zlomek má definiční obor R − {0}; reálná čísla bez nuly.
Tangens má definiční obor R − {π/2 + Kπ}.
Kotangens má definiční obor R − {Kπ}.
Exponenciální funkce má definiční obor R.
Lineární a kvadratické funkce mají definiční obor R.

Pokud máte zadanou pouze jednu funkci, je to velice prosté. Zkrátka zjistíme, jaký definiční obor ta funkce má, koukneme na argument a pak už to jen vhodně dosadíme do (ne)rovnice. Takže příklad – určete definiční obor funkce log (3x + 2). Logaritmus musí být nezáporný, proto musí platit 3x + 2 > 0. Dále dostáváme:

3x + 2 > 0 3x > −2 x > −2/3

Výsedek je interval D(f) = (−2/3; ∞).

Vypočtěte definiční obor funkcí:

√(2x + 8)
1/x²

a) 
2x + 8 ≥ 0
2x ≥ −8 
x ≥ −4

D(f) = <−4; ∞)

b)
x² ≠ 0
x ≠ 0

D(f) = R − {0}

Rozložení složených funkcí

U složených funkcí už je situace mírně komplikovanější, protože musíme brát v potaz více funkcí, které se navzájem ovlivňují a postupně zmenšují svůj definiční obor. Vezměme třeba tenhle příklad:

$\frac1{\sqr x}$

Zde musí platit dvě podmínky. Výraz pod odmocninou musít být větší nebo roven nule, nesmí být záporný. Proto x ≥ 0. Jenže odmocnina se nachází ve jmenovateli zlomku, takže musí platit, že ta odmocnina nesmí vyjít nula, pak by zase zlomek neměl smysl. Takže předchozí výrok ještě upravíme na x > 0.

Obdobně budeme postupovat i u dalších příkladů. Důležité ovšem je určit posloupnost vnořených funkcí – musíme zjistit, která funkce je vnitřní a která funkce je vnější. U předchozího příkladu to bylo evidentní – vnitřní funkce byla odmocnina a vnější zlomek. Kdybychom ten výraz chtěli spočítat ručně, nejprve bychom argument x odmocnili a až poté bychom vypočítali zlomek. To je docela dobrá pomůcka – nejvnitřnější funkce je ta, se kterou byste začali počítat, kdybyste to počítali ručně. Další příklad:

$\sqr[5]{\ln (\tan x)^3}$

Můžeme nyní zvolit opačný přístup. Budeme hledat vnější funkce. Vnější funkce „obaluje“ vnitřní funkce. Zde zcela zřejmě pátá odmocnina obaluje všechny zbývající funkce. Dále logaritmus obaluje svůj argument, třetí mocnina obaluje svou závorku a konečně proměnnou x obaluje tangens. Jednoduché. Starší metodou to můžeme vzít takto: když známe hodnotu x, jako první ji aplikujeme na tangens. Je to tedy nejvnitřnější funkce. Tento výsledek aplikujeme na mocninu – je to tedy druhá nejvnitřnější funkce. Tento výsledek zase aplikujeme na logaritmus a na konec to odmocníme. Kapišto?

Jestli nekapišto, zkusím ještě jednu nápovědu. Substituci. Najděte vnější funkci. To by neměl být problém. V našem případě to je pátá odmocnina. Všechno pod touto odmocninou nahraďte výrazem a. Dostáváte tedy pátou odmocninu z a, přičemž:

$a=\ln (\tan x)^3$

Nyní najděte vnější funkci v tomto výrazu. Evidentně to bude logaritmus. Jeho argument opět dejte so substituce a nahraďte ho b:

$b=(\tan x)^3$

A tak dále, dokud se nedostanete až k proměnné x. Ještě příklady na procvičení:

Rozložte složené funkce:

a) $sin \frac{1024}{\log (10^{2x+3})}$

b) $2^{\frac{1}{\sqrt{3x}}}$

a) Začneme vnější funkcí. Tou je sinus. Dále v pořadí je zlomek, pak logaritmus, pak exponenciální funkce (představte si tuto substituci: 10^a) a nakonec lineární funkce 2x + 3.

b) Vnější funkce je exponenciální funkce 2^a. Dále je zlomek a pak ve jmenovateli zlomku odmocnina a nakonec lineárn funkce 3x.

Definiční obor složených funkcí

Umíte-li rozkládat funkce na vnější a vnitřní, už pro vás nemůže být žádný problém určit definiční obor. Ukážeme si to rovnou na příkladu: $\frac{1}{(sin x) - 1}$

Rozklad od vnějších funkcí bude triviální: zlomek → lineární funkce → sinus. Od vnitřních to bude pochopitelně naopak. Začneme nyní počítat od nejvnitřnější funkce. Sinus má definiční obor reálná čísla, takže zde se nic neomezuje. Za x můžeme dosadit cokoliv a funkce bude mít smysl. Stejně tak lineární funkce. Potíž nastane až u zlomku – ve jmenovateli nesmí být nula. Takže celá lineární funkce ve jmenovateli se nesmí rovnat nule: sin x − 1 ≠ 0. Takže stačí vypočítat rovnici sin x = 1 (a to je jednoduchá goniometrická rovnice), uděláme průnik všech dočasných D(f), které jsme získali cestou a máme výsledek: D(f) = R − {2Kπ}.

Další příklad: $\sqrt{1-\log(2x+6)}$ Rozdělení funkcí bude následující (od vnějších): odmocnina → logaritmus → lineární funkce. Začneme zase od vnitřní funkce. Lineární funkce 2x + 6 má definiční obor Reálná čísla, tam je to bez omezení. Dále máme logaritmus, který už je horší, protože musí být kladný. Takže počítáme nerovnici 2x + 6 > 0. To je triviální:

2x + 6 > 0 
2x > −6 
x > −3

Zdejší logaritmus má tedy zřejmě D(f₁) = (−3; ∞). Teď musíme spočítat výraz pod odmocninou, který nesmí být záporný: 1 − log(2x + 6) ≥ 0. To vypočítáme takto:

1 − log (2x + 6) ≥ 0
−log (2x + 6) ≥ −1 
log (2x + 6) ≤ 1 
log (2x + 6) ≤ log 10
2x + 6 ≤ 10 
2x ≤ 4 
x ≤ 2

Vidíme, že D(f₂) = (−∞; 2>. To už je všechno, zbývá jen udělat průnik mezi těmito množinami a výsledek je na světě: D(f) = (−3; 2>.

Další řešené příklady naleznete na MatWiki v kategorii Definiční obory funkcí.