Několik příkladů na složitější derivace než základní práce se vzorečky. Pokud potřebujete vysvětlit definici derivace, přejděte na článek derivace funkce.
Začneme s něčím ne ještě příliš těžkým.
Ze vzorečků derivací funkce víme, že derivace funkce ex je opět ex. Bohužel tento jednoduchý postup nemůžeme v tomto příkladě úplně přímo použít, protože v exponentu se nenachází jen x, ale −x, takže musíme danou funkci řešit jako složenou funkci. V prvním kroku nás ale stejně čeká rozložení pomocí vzorce pro součin.
Levý mnohočlen zderivujeme pomocí klasického vzorce, zbytek necháme stejný:
Teď musíme zderivovat poslední funkci. Jak už jsme si říkali, je to složená funkce a tak ji musíme derivovat podle pravidla o složených funkcích:
Takže derivace naší funkce by vypadala takto:
Výraz e−x zůstane stejný, protože derivace ex je zase ex a v prvním kroku vzorce derivujeme vnější funkci a vnitřní funkci necháváme nezderivovanou. V druhém kroku násobíme náš mezivýsledek derivací argumentu funkce, což je funkce −x. Derivací funkce −x je −1. Teď už jen dosadíme náš výsledek do předchozího výrazu:
Zadání druhého příkladu:
Zde máme zlomek, v čitateli je jedna funkce a ve jmenovateli je jiná funkce. Takže v prvním kroku budeme derivovat podle vzorce pro dělení. Po aplikaci vzorce získáváme:
Vezmeme to od konce, zderivujeme nejprve tangens, protože ho můžeme zderivovat jednoduše podle základního vzorce. Platí, že
Po aplikaci tohoto vzorce v čitateli zlomku dostáváme
Teď potřebujeme zderivovat logaritmus. Bohužel máme uvnitř logaritmu další vnořenou funkci, takže dostáváme složenou funkci a musíme tak logaritmus derivovat složitěji jako složenou funkci. Derivace samotného logaritmu je 1/x, kde ovšem za x dosadíme argument logaritmu, tj. kosinus. Dále musíme ještě násobit derivací argumentu, tj. derivací kosinu. Takže derivace logaritmu bude vypadat takto:
Dostali jsme docela hezký zlomek. Pokud si dobře vzpomínáte na goniometrii, tak víte, že tento zlomek se rovná tangensu. Takže můžeme napsat, že se to celé rovná minus tangens:
Dosadíme to tak do předchozího výsledku:
V čitateli máme dvakrát tangens, tak ho můžeme jednoduše umocnit na druhou. Logaritmus můžeme přesunout do čitatele následujícího zlomku.
Teď můžeme rozdělit čitatele a dostat dva zlomky
V prvním zlomku se čitatel rovná jmenovateli, takže dostáváme jedničku. Ve druhém zlomku se můžeme zbavit zlomku v čitateli tak, že zlomek rozšíříme výrazem cos2x.
Tangens nyní můžeme rozložit na podíl sin(x)/cos(x). Protože ale máme tangens na druhou, dostaneme i ve zlomek čitatel a jmenovatel na druhou. Poté můžeme hned zkrátit cos2x.
To je finální výsledek derivace.
Vypočtěte derivaci funkce
Pokud to není jasně vidět — všechno jsou to exponenty, tedy „x na x na jednu polovinu“. V prvním kroku nejprve provedeme úpravu podle vzorce:
Pomocí tohoto vzorce rozložíme první x v našem příkladě:
Nyní aplikujeme vzorec pro práci z mocninami:
Odstraníme závorky a dáme do součinu nejvyšší exponent s logaritmem:
Teď už máme funkci ve tvaru, ve kterém se nám bude lépe derivovat. Jedná se o složenou funkci a jako takovou ji budeme derivovat. První funkce je ex, kde za x dosadíme celý exponent a druhá funkce je v exponentu. Takže rozložením dostáváme:
Závorku budeme derivovat jako součin, takže aplikujeme vzorec pro součin.
Derivace logaritmu je 1/x:
Teď zderivujeme druhý výraz, podle klasického vzorce pro derivování mocninných funkcí. Takže platí:
Dosadíme tento výsledek do našeho výpočtu:
Můžeme ještě upravit první součin, opět pomocí vzorečků, které pracují s mocninami:
Přepíšeme předchozí výraz pomocí výpočtu, který jsme právě udělali:
A nakonec převedeme logaritmus do čitatele zlomku:
První zlomek můžeme rozšířit dvěma a zlomky pak můžeme sečíst:
Nyní už se můžeme vrátit k celé derivaci:
Zpátky nahradíme eln x za x:
Tím jsme dostali finální výsledek.
Nevíte-li si rady s řešením příkladu, nechte si ho vyřešit odborníky. Nebo se zeptejte na matematickém fóru.
