Doplnění na čtverec

Algoritmus využívá klasický vzorec pro umocnění závorky:

Postup je následující. Zatím předpokládejme, že a = 1. Představme si, že máme kvadratickou funkci f(x) = x²+6x+1 a chceme ji převést na tvar (x+m)²+n. Jako první si určíme hodnoty z první závorky: (x+m)². Jaké číslo musíme dosadit za m? Podle vzorce musí platit rovnost (x+m)² = x²+2mx+m². Ve funkci f máme x², to je v pořádku. Ale na místě lineárního členu máme 6x. Jakou hodnotu musíme zvolit za m, aby platilo 6x = 2mx? Zjevně musí platit m = b/2 = 6/2 = 3. Za číslo m tak vždy dosadíme polovinu hodnoty čísla b z kvadratické funkce.

Dostali jsme tak tvar (x+3)²−n. Zbývá určit číslo n. Už víme, že platí (x+m)² = x²+2mx+m². Ta část x²+2mx je chtěná, ale ten výraz m² nám tam přebývá, ve funkci f žádný ekvivalent není. Proto od současného výsledku odečteme m². Dostaneme tak tvar (x+m)²−m², což se po roznásobení rovná x²+2mx+m²−m². Po odečtení tak máme pouze x²+2mx.

Ve funkci f ale ještě máme absolutní člen c. Ten jednoduše přičteme. Dostaneme tak tvar (x+m)²−m²+c, po roznásobení x²+2mx+m²−m²+c a po zjednodušení x²+2mx+c. Protože m = b/2, tak je tento výraz rovný x²+bx+c, tedy po roznásobení výrazu (x+m)²−m²+c dostaneme zpět původní funkci, počítali jsme správně. (Opakuji, že a = 1, nikde tam tak nechybí.)

Pro ukázkovou funkci f tak dostaneme výraz ve tvaru čtverce (x+3)²−9+1 = (x+3)²−8. Můžeme si to zkusit zpět roznásobit:

Metoda doplnění na čtverec se používá například když chcete nakreslit graf kvadratické funkce.

V případě, kdy máme funkci, pro kterou neplatí, že a = 1, tak postupujeme tak, že celou funkci vytkneme číslem a a postupujeme tak, jak už to umíme. Příklad:

Z celé funkce vytkneme dvojku:

Funkci uvnitř závorky již umíme převést na čtverec.

Tento výsledek dosadíme do předchozí rovnice, dostaneme tak: