Doplnění na čtverec

Pomocí metody doplnění na čtverec můžeme vyjádřit kvadratickou funkci ax² + bx + c ve tvaru (x + m)² + n.

Algoritmus doplnění na čtverec

Algoritmus využívá klasický vzorec pro umocnění závorky:

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

Postup je následující. Zatím předpokládejme, že a = 1. Představme si, že máme kvadratickou funkci f(x) = x² + 6x + 1 a chceme ji převést na tvar (x + m)² + n. Jako první si určíme hodnoty z první závorky: (x + m)². Jaké číslo musíme dosadit za m? Podle vzorce musí platit rovnost (x + m)² = x² + 2mx + m². Ve funkci f máme x², to je v pořádku. Ale na místě lineárního členu máme 6x. Jakou hodnotu musíme zvolit za m, aby platilo 6x = 2mx? Zjevně musí platit m = b/2 = 6/2 = 3. Za číslo m tak vždy dosadíme polovinu hodnoty čísla b z kvadratické funkce.

Dostali jsme tak tvar (x + 3)² − n. Zbývá určit číslo n. Už víme, že platí (x + m)² = x² + 2mx + m². Ta část x² + 2mx je chtěná, ale ten výraz m² nám tam přebývá, ve funkci f žádný ekvivalent není. Proto od současného výsledku odečteme m². Dostaneme tak tvar (x + m)² − m², což se po roznásobení rovná x² + 2mx + m² − m². Po odečtení tak máme pouze x² + 2mx.

Ve funkci f ale ještě máme absolutní člen c. Ten jednoduše přičteme. Dostaneme tak tvar (x + m)² − m² + c, po roznásobení x² + 2mx + m² − m² + c a po zjednodušení x² + 2mx + c. Protože m = b/2, tak je tento výraz rovný x² + bx + c, tedy po roznásobení výrazu (x + m)² − m² + c dostaneme zpět původní funkci, počítali jsme správně. (Opakuji, že a = 1, nikde tam tak nechybí.)

Pro ukázkovou funkci f tak dostaneme výraz ve tvaru čtverce (x + 3)² − 9 + 1 = (x + 3)² − 8. Můžeme si to zkusit zpět roznásobit:

$$\begin{eqnarray} (x+3)^2-8&=&x^2+6x+9-8\\ &=&x^2+6x+1 \end{eqnarray}$$

Metoda doplnění na čtverec se používá například když chcete nakreslit graf kvadratické funkce.

Když a≠1

V případě, kdy máme funkci, pro kterou neplatí, že a = 1, tak postupujeme tak, že celou funkci vytkneme číslem a a postupujeme tak, jak už to umíme. Příklad:

$$2x^2+16x-12=0$$

Z celé funkce vytkneme dvojku:

$$2\cdot(x^2+8x-6)=0$$

Funkci uvnitř závorky již umíme převést na čtverec.

$$x^2+8x-6=(x+4)^2-16-6=(x+4)^2-22$$

Tento výsledek dosadíme do předchozí rovnice, dostaneme tak:

$$2\cdot(x^2+8x-6)=2\left((x+4)^2-22\right)=2(x+4)^2-44$$