Lékařský paradox

Pacient absolvuje test na nějakou nemoc, tento test vrátí pozitivní výsledek, tj. test odpoví, že pacient nemoc má. Ve skutečnosti ale může být pravděpodobnost, že nemoc skutečně má, mnohem menší, než že ji nemá.

Příběh

Stalo se, že se v Praze objevila prasečí chřipka. MatFyzák jde k doktorovi, který ho podrobí testu, zda tuto chřipku má, nebo nemá. Tento test má úspěšnost 99,95 %. Po týdnu se MatFyzák dozví, že test vyšel pozitivně. Chvíli je z toho smutný, test má přece 99,95% úspěšnost, takže šance na to, že se zmýlil je jen 0,05 %. Ale pak začne počítat a zajásá. Zjistí, že pravděpodobnost, že skutečně prasečí chřipku má je pouze 16 %. Jak je to možné?

Zkusme si to projít celé. Pro jednoduchost si představme, že náš imaginární test by mohl fungovat takto. (V praxi by například těžko mohl mít nějaký test 100% úspěšnost, ale v rámci jednoduchosti to předpokládejme.)

• Pokud nemoc máte, test vám ve 100 % případů řekne, že jste nemocní.
• Pokud nemoc nemáte, test je úspěšný v 99,95 % případů. Tedy i když nemoc nemáte, tak v 0,05 % případů test řekne, že nemoc máte.
• Pokud test oznámí, že nemoc nemáte, určitě nemocní nejste.
• Pokud test oznámí, že nemoc máte, může to být pravda i chyba.

To ovšem není vše, co potřebujeme vědět. Musíme ještě znát, kolik nemocných v dané populaci je.

Hodně nemocných

Teď se podívejme, jak test dopadne v různých prostředích. V tomto případě to dopadne očekávatelně. Představe si populaci A, kde 200 lidí z 10 000 opravdu prasečí chřipku má, neboli 2 % lidí jsou infikováni. Provádíme test na jednom milionu lidí. To znamená, že 20 000 lidí má chřipku, ostatní nemají.

Protože test je vždy úspěšný, pokud danou nemoc člověk má, označí 20 000 lidí za nemocných. Zbývá 980 000 lidí, kteří nemoc nemají. Zde má test úspěšnost 99,95 %, neboli má 0,05% neúspěšnost, takže označí 980 000 · 0,0005 = 490 lidí za nemocných, přestože nemocní nejsou.

V celkovém součtu tak test označí 20 490 lidí jako nemocných. Z tohoto množství je ale nemocných pouze 20 000 lidí. Pravděpdoobnost, že skutečně máte nemoc je tak 20 000 / 20 490 = 0.9760858956, což je přibližně 97,6 %.

Málo nemocných

Podívejme se na populaci B, kde je nemocný pouze 1 z 10 000, neboli nemoc má 0,01 % obyvatel. Provádíme stejný test na jednom milionu lidí.

Z jednoho milionu lidí je nemocných pouze 100 lidí — tyto lidi test správně označí za nemocné. Zbývá nám 999 900 lidí, kteří jsou zdraví. Z těchto lidí test označí 0,05 % jako nemocných, kvůli své chybě. Test tak označí 999 900 · 0,0005 = 500 zdravých lidí jako nemocné. Ostatní jsou správně označeni jako zdraví.

V celkovém součtu označí 100 + 500 = 600 lidí jako nemocných. Z těchto lidí je ale skutečně nemocných pouze sto, takže pravděpodobnost, že skutečně máte nemoc je pouze 100/600 = 1/6, přibližně 16 %. I když vás test označil jako nemocné, máte stále mnohem vyšší šanci, že nemoc nemáte.

Jeden nemocný

Předchozí výsledek, že pokud vás test označí za nemocného, tak ve skutečnosti máte pouze 16% šanci, že jste opravdu nemocný, může být pro někoho překvapující. Ještě lépe je to ale vidět, pokud příklad dovedeme do extrému.

Předpokládejme populaci jednoho milionu lidí, z nichž je pouze jeden jediný člověk nemocný. Test, kterým se testujeme, má 90% úspěšnost v případě kladné odpovědi. Co to znamená? Že test z 999 999 zdravých lidí označí 10 % za nemocné, to jest označí přibližně sto tisíc lidí jako nemocných. Přitom je ale skutečně nemocný pouze jeden člověk. I pokud vás test označí, máte pouze 1/100000 šanci, že skutečně nemoc máte, tj. přibližně 0,001 %.