Goniometrické funkce

Tato podkapitolka je určena těm, kteří si nejsou jistí, jak se co zapisuje, jaké jsou základní pravidla v trojúhelníku a­pod.

Takže trojúhelník má tři vrcholy, které jsou spojeny třemi stranami. To je jasný. Každý vrchol bývá nějak pojmenován, v příkladech asi nejčastěji body ABC. Vrcholy se udávají velkými písmeny, jako normální body. Jednotlivé strany potom malými písmeny a, b, c. Strana a je naproti vrcholu A a odpovídá straně BC. Obdobně strana b je naproti vrcholu B a odpovídá straně CA. Strana c je naproti vrcholu C a odpovídá straně AB.

U vrcholu A je pak úhel alfa α, u vrcholu B úhel beta β a u vrcholu c úhel gamma γ. Jinak jsou to první tři písmena řecké abecedy. Největší úhel je vždycky naproti nejdelší strany, nejmenší úhel naopak naproti nejmenší strany. V pravoúhlém trojúhelníku je tedy přepona naproti pravému úhlu a dvě odvěsny naproti zbylých úhlů.

Asi nejčastěji se goniometrické funkce používají k výpočtu délky stran a velikosti úhlů v pravoúhlém trojúhelníku. Jednotlivé funkce pouze udávají určitý poměr stran k danému úhlu.

Sinus úhlu alfa se rovná poměru protilehlé odvěsny ku přeponě.

Když bude mít kupříkladu úhel alfa třicet stupňů, jeho sinus bude 0,5. Tedy poměr protilehlé odvěsny ku přeponě bude 1:2, respektive 0,5:1. Číslo, které vám vyjde, je vlastně násobek, kolikrát je odvěsna větší (respektive menší), než přepona. Pokud má tedy přepona délku 10, úhel alfa velikost třicet stupňů (poměr je tedy těch 1:2), pak délka protilehlé odvěsny je 5.

Funkce sinus (sin) tedy udává poměr protilehlé odvěsny ku přeponě, funkce kosinus (cos) přilehlé odvěsny ku přeponě, tangens (tg nebo tan) protilehlé odvěsny ku přilehlé odvěsně a kotangens (cotg nebo cotan) přilehlé odvěsny ku protilehlé odvěsně. Pokud tedy známe úhly a délku jakékoliv strany, jsme schopni vypočítat zbylé strany.

Příklad: Je dán trojúhelník ABC; |AB|=5, α = 30°, γ = 90°. Teď spočítáme všechny zbylé strany. Nejprve stranu a. Tato strana je protilehlá odvěsna k úhlu α, tudíž použijeme funkci sinus. Zapíšeme to asi takto: sin α = a/c. Z tohoto vztahu odvodíme rovnici pro stranu a → a = sin α  c. Teď už stačí pouze do solárního přístroje (kalkulátor nebo v některých zemích též kalkulačka) napsat sin 30  5. Výsledek je 2,5. Strana a má tedy délku 2,5.

Poslední stranu buď spočítáte stejným způsobem, ale za pomocí funkce kosinus nebo použijete pythagorovu větu. Jednodušší asi bude pythagorova věta, ale protože píši článek o goniometrii, použiji funkci kosinus. Zápis bude prakticky stejný cos α=b/c po osamostatnění strany b → b = cos α * 5. Solární přístroj vyhodí číslo 4,33 (zaokrouhleno). Nyní tedy máme spočítány všechny tři strany trojúhelníku. a=2,5; b=5; c=4,33.

Už tedy umíme spočítat délky stran pokud známe úhly, ale co když známe délky stran, ale neznáme úhly? To už nám prosté funkce sinus nebo kosinus nepomohou, musíme použít inverzní funkce a to arcussinus, arcuskosinus, arcustangens a arcuskotangens. Pokud nám funkce sinus vypočítá ze zadaného úhlu poměr stran, pak arcussinus nám po zadání poměru stran vypočte úhel. To samé platí pro ostatní inverzní arcus funkce. Na solárních přístrojích bývá často arcussinus zapsán jako sin^-1, arcuskosinus jako cos^-1, arcustangens jako tan^-1 a acruskotangens tam většinou nebývá.

Příklad: Je dán trojúhelník ABC; a=5, b=4, c=3. Známe tedy všechny strany a můžeme tak vypočítat i všechny úhly. U vrcholu A je pravý úhel (vždy naproti přeponě), takže začneme s úhlem β. Jelikož známe všechny strany a tímpádem si dokážeme vypočíst i všechny poměry stran, můžeme si vybrat kteroukoliv z funkcí. Nejjednodušší asi bude arcussinus. Zjistíme poměr protilehlé odvěsny ku přeponě a zapíšeme takto: sin β = b/a. Z toho vyplývá, že sin β = 4/5. Sinus úhlu beta se tedy rovná 0.8. Nyní toto číslo vložíme do solárního přístroje a vypočteme arcussinus (sin^-1 0.8). Vyjde nám 53,13°.

Můžeme ovšem klidně stejný úhel spočítat například pomocí arcustangens. tg β = b/c → tg β = 4/3 → tg β = 1,333. Když vypočítáme arcustangens tohoto čísla, vyjde nám stejný výsledek. Stejně tak si můžete vyzkoušet arcuskosinus cos β = c/a → cos β = 3/5 → cos β = 0.6. Vypočteme arcuskosinus a opět musí vyjít stejný výsledek.

Úhel gamma spočítáme stejně jako úhel beta, jen použijeme jiné poměry stran. Takže sin γ = c/a → sin γ = 3/5 → sin γ = 0.6. Solární přístroj musí vyhodit tento výsledek 36,87. Zkoušku provedeme jednoduše. Součet všech úhlů trojúhelníku se musí rovnat 180. Takže 90 + 36,87 + 5­3,13 = 180. Sedí. Občas se vám může stát, že to nebude o pár setin sedět, většinou to bývá nepřesností zaokrouhlování. Ale pozor na to – pokud to nesedí o několik stupňů, je třeba chybu hledat někde jinde :-).

Nejprve tedy bude důležité vysvětlit pojem jednotková kružnice a orientovaný úhel. Jednotková kružnice je kružnice se středem V, která má poloměr jedna. Ne jeden centimetr, prostě jedna (bezrozměrná jednotka). Nyní na této kružnici vytvořte dva body A a B. Když spojíte střed V s těmito dvěmi body polopřímkami, vznikne úhel AVB – ten zobáček před AVB značí úhel, kdyby to zase nešlo poznat :-).

Teď ale vzniká jeden zásadní problém – jaký je to úhel? Je to ten menší nebo ten větší? Pokud jste body A a B nedali naproti sobě tak, aby při jejich spojení vznikl průměr, máte před sebou dva různé úhly. Abychom určili, který z nich máme na mysli, musíme určit, které rameno je počáteční a které je koncové. Tak vzniká orientovaný úhel. Otáčí-li se koncové rameno ve směru hodinových ručiček, je hodnota úhlu záporná, otáčí-li se proti směru, je kladná.

Když počáteční rameno orientovaného úhlu bude polopřímka VA a koncové rameno VB, bude zápis orientovaného úhlu vypadat takto: AVB (nad tímto zápisem by ještě měla být taková stříška ∧, ale to už tam opravdu nenacpu). Pokud by tento orientovaný úhel měl velikost 90 stupňů, měl by stejný úhel, ale opačně orientovaný – BVA velikost 270 stupňů.

Pravděpodobně všichni víte, že se velikost úhlu píše ve stupních. Ale existuje i další jednotka a sice radián neboli oblouková míra. Mějme tedy opět jednotkovou kružnici. Tato kružnice, jak už všichni víme, má poloměr r=1.

Vepiště na kružnici dva body C a D takové, že oblouk, který budou tvořit, bude mít délku právě r, tedy jedna. Pozor! Nemyslím délku úsečky CD, ale skutečně délku oblouku (tedy délku zkroucené úsečky – nebijte mě, prosím, za ten výraz). Potom velikost orientovaného úhlu CVD (oblouku) bude právě jeden radián → 1 rad. Jeho přibližná hodnota je 57° 17′ 44″.

Teď je důležité si uvědomit, kolik takových oblouků se vleze do jedné kružnice, neboli kolik radiánů se rovná třista šedesáti stupňům. Je to jednoduché. Nejprve musíme spočítat délku jednotkové kružnice. Vzorec jistě všichni známe 2πr, zkráceně 2πr (ten podivný znak je Pí – Ludolfovo číslo, kdybyste to nepoznali :-)). Poloměr je jedna, tudíž pokrácený vzorec bude vypadat takto 2π. Takže do jedné kružnice se vleze 2π takových oblouků, neboli do třista šedesáti stupňů se vejde 2π radiánů.

Při zápisech velikosti úhlů se většinou značka rad vynechává a používají se pouze číselné zápisy. Takže úhel 2π rad a 2π je prakticky to samé.

Třista šedesát stupňů se tedy dá také vyjádřit jako úhel o velikosti 2π. Z toho logicky plyne, že sto osmdesát stupňů se rovná π, pravý úhel je π/2 atd. Sinus π/2 se rovná sinus devedesáti stupňů a to se rovná jedna.

Převodní vztah mezi radiány a stupni není nikterak těžký. Víme, že π se rovná sto osmdesát stupňů. Pokud hledáme devadesát stupňů, v radiánech to bude π/2, neboli π(90/180), což se pokrátí na π(½) a to je právě π/2. Vzorec na převod stupňů na radiány musí být jasný, π(stupeň/180), kde za proměnnou stupeň dosadíme náš změřený úhel ve stupních a vyjde nám úhel vyjadřený v obloukové míře.

Pokud naopak známe úhel v radiánech a potřebujeme ho převést na stupně (např. ve většině – ve všech? – programovacích jazycích se úhel zadává právě v radiánech), použijeme upravený předchozí vztah vztah: (rad/π)180, kde za proměnnou rad dosadíme úhel v radiánech a vyjde nám úhel ve stupních.

Příklad: Mám úhel 2π a chci si ho převést na stupně. Použiji tedy druhý vzorec a dosadím: (2π/π)180. Pí se mi vykrátí, zůstane pouze 2180 a to se rovná 360 stupňů. A jelikož se 2π skutečně třista šedesáti stupňům rovná, počítali jsme správně.

Druhý příklad: Mám úhel 45 stupňů a chci ho převést na radiány. Použiji tedy první vzorec a dosadím: π*(45/180) → 45/180 se rovná jedné čtvrtině, takže výsledek je π/4, což opět sedí.

Všechny goniometrické funkce můžeme graficky znázornit na již tolikrát zmiňované jednotkové kružnici. Nejdříve bychom si ale měli ujasnit některá pravidla, jak vlastně ona jednotková kružnice v praxi vypadá. Aby se na ni daly pohodlně nanášet úhly, bude potřeba určit její počátek (0π) a zároveň konec (2π).

Takže do kružnice narýsujte standardní Kartézský souřadnicový systém O_xy (dva na sebe kolmé průměry, z nichž jeden je vodorovný). Tyto osy protínají kružnici celkem ve čtyřech bodech. (Můžete je postupně pojmenovat M1 až M4) Ten úplně vpravo je počátek, tedy 0π. Další bod v kladném směru (proti směru hodinových ručiček), neboli ten úplně nahoře je π/2, další (úplně vlevo) je π a poslední je 3π/2. Začátek a konec je na stejném místě, takže 0π=2π.

Tyto dvě osy také rozdělují jednotkovou kružnici na čtyři kvadranty. První kvadrant je mezi úhly 0π až π/2 (pravý horní), druhý kvadrant π/2 až π (levý horní), třetí kvadrant π až 3π/2 (levý spodní) a konečně čtvrtý mezi 3π/2 a 2π (pravý spodní).

Všechny tyto goniometrické funkce si můžeme představit právě na jednotkové kružnici. Když zvolíte bod X někde na kružnici v prvním kvadrantu a spojíte tento bod se středem kružnice, získáte nějaký úhel (bereme v potaz ten menší, neboli orientovaný úhel XVM₁ se záporným úhlem).

Sinus tohoto úhlu můžeme znázornit tak, že spustíme kolmice na osu y, protínající právě bod X. Patu kolmice pojmenujte P₁. Pak sinus tohoto úhlu se rovná vzdálenosti středu jednotkové kružnice od paty kolmice. Neboli sin α=|VP₁|.

Analogicky pokud chceme vyjádřit kosinus, spustíme kolmici na osu x, opět protínající bod X a patu pojmenujeme P₂. Pak kosinus tohoto úhlu je roven vzdálenosti středu kružnice od paty kolmice. Neboli cos α=|VP₂|.

Z tohoto nákresu již můžeme vyčíst některé zákonitosti, jako že sinus je vždy v I. a ve II. kvadrantu kladný a ve III. a IV. záporný. Zatímco Kosinus je kladný v I. a ve IV. kvadrantu a je záporný ve II. a III. kvadrantu. Jednoduše také můžeme vyčíst některé hodnoty jako že sinus nuly je nula, kosinus nuly je jedna a podobně. Dále je důležitá periodičnost – sinus a kosinus mají periodu 2π.

Sinus je ypsilonová souřadnice průsečíku koncového ramene orientovaného úhlu v základní poloze s jednotkovou kružnicí.

Dále si zde zobrazíme funkce tangens a kotangens. V bodě M₁ (0π) spustíme kolmici na osu x. Tangens tohoto úhlu je pak ypsilonová souřadnice průsečíku koncového ramene úhlu s touto kolmicí. Dále si zde ještě najdeme čtvrtou goniometrickou funkci kotangens. V bodě M₂ (½π) spustíme kolmici k ose y. Kotangens úhlu je poté x-ová souřadnice průsečíku koncového ramene úhlu s touto kolmicí. Z obrázku je také patrné, že tangens devadesáti stupňů (½π) a dvěstě sedmdesáti stupňů (3/2π) neexistuje, protože koncové rameno úhlu nikdy neprotne danou kolmici. To samé platí u kotangens pro nula stupňů a sto osmdesát stupňů (π). Narozdíl od předchozích funkcí mají tangens a kotangens periodu pouze π.

Goniometrické funkce mají mezi sebou prazvláštní vztahy, které je nutné znát, abyste s nimi mohli poté počítat. Odvozovat to tady nehodlám, jednak by to bylo na dlouho a jednak si nejsem jistý, jestli bych všechny vzorce dokázal odvodit a hlavně odvození obvykle není důležité, hlavní je znát vzorec samotný. Kdo si nerad pamatuje vzorce a radši je odvozuje nechť si je doma poctivě odvodí sám ;-). Takže teď už přijde na řadu seznam nejpoužívanějích vzorců a vztahů:

• sin² x + cos² x = 1
• sin 2× = 2 si­n x cox x
• cos 2× = cos² x - sin² x
• tg x = sin x / c­os x
• cotg x = cos x / s­in x
• sin (α + β) = s­in α cos β + c­os α sin β
• sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β
• cos (α + β) = c­os α cos β - sin α sin β
• cos (α - β) = cos α c­os β + sin α s­in β

Tak, to by byly tak ty nejdůležitější.

První z goniometrických vět. Sinová věta říká, že poměr dvou stran v trojúhelníku se rovná poměru sinů protilehlých úhlů. Zápisem to můžeme vyjádřit asi takto: . Pro ostatní dvojice stran platí stejný vzorec. Tento vzorec můžeme přepsat na jiný, kde zároveň vměstnáme průměr kružnice opsané (d): . Ještě poznámka – tato věta platí nejen v pravúhlém trojúhelníku, ale i v jakémkoliv jiném, tedy v obecném trojúhelníku.

Omlouvám se, ale slovní definici nejsem schopný poskládat, takže pouze vzorec: a² = b² + c² - 2bc cos α. Docela často se tato věta používá, když znáte délku všech stran a potřebujete vypočítat úhly. Tato věta také platí v obecném trojúhelníku.

Některé výsledné hodnoty se hodí znát zpaměti, místo toho, abyste je neustále počítali na solárním přístroji, takže tady najdete jejich seznam: