Inverzní matice

Inverzní matice je matice, která je definovaná na čtvercových regulárních maticích. Při součinu matice a její inverzní matice pak dostaneme jednotkovou matici.

Definice

Inverzní matice se může počítat pouze z matice čtvercové, na obdélníkové matici není inverzní matice definována. Inverzní matice k matici A (značíme A⁻¹) dále existuje jen tehdy, je-li matice regulární (nemá lineárně závislé řádky). Tato matice je pak určena jednoznačně. Dvě hlavní vlastnosti inverzní matice jsou:

$$(A^{-1})^{-1}=A$$

A hlavně nejdůležitější vlastnost inverzní matice (což je zároveň také definice inverzní matice):

$$A\cdot A^{-1} = E$$

E je jednotková matice.

Jak vypočítat inverzní matici

A teď k metodě výpočtu inverzní matice. Nejjednodušší algoritmus je Gaussova eliminační metoda, která spočívá v tom, že upravujete matici A do jednotkového tvaru a vedle této matice si napíšete jednotkovou matici a na tuto matici provádíte stejné úpravy jako na matici A. Na konci výpočetního procesu máte nalevo matici A upravenou na jednotkovou matici a napravo inverzní matici. Vyzkoušejme si to na jednoduchém příkladu:

$$\left(\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right)$$

Letmým kouknutím zjistíme, že matice je regulární, takže má smysl počítat inverzní matici. Počítáme-li inverzní matici, obvykle to zapisujeme ve tvaru:

$$\left(\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\3&4&0&1\end{array}\right)$$

Nyní tu levou matici upravíme na jednotkovou matici a identické úpravy budeme provádět na pravé matici. Přičteme −3 násobek prvního řádku ke druhému. Nejprve levá matice:

$$\left(\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\0&-2&0&1\end{array}\right)$$

Teď přičteme −3 násobek první řádku pravé matice k druhému řádku pravé matice:

$$\left(\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\0&-2&-3&1\end{array}\right)$$

Teď musíme dostat nulu na pozici a₁₂. Stačí, když k prvnímu řádku přičteme druhý řádek. Nyní již provedu obě úpravy v jednom kroku:

$$\left(\begin{array}{cc|cc}1&0&-2&1\\0&-2&-3&1\end{array}\right)$$

A teď se zbavíme té minus dvojky tím, že celý řádek vydělíme minus dvěma:

$$\left(\begin{array}{cc|cc}1&0&-2&1\\0&1&\frac32&-\frac12\end{array}\right)$$

Výsledná inverzní matice je:

$$\left(\begin{array}{cc}-2&1\\\frac32&-\frac12\end{array}\right)$$

Pokud si chcete ověřit, jestli je vypočítaná inverzní matice správná, vynásobte ji s původní maticí:

$$\left(\begin{array}{cc}-2&1\\\frac32&-\frac12\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right)$$

Pro kontrolu se můžete podívat na WolframAlpha.

Výpočet pomocí determinantu

Inverzní matici můžeme ještě vypočítat pomocí determinantu. Platí, že pokud máme regulární matici A, tak inverzní matice A⁻¹ má prvky a⁻¹_ij, které jsou rovny:

$$a^{-1}_{ij}=\frac{(-1)^{i+j}\cdot\left|A_{j,i}\right|}{\left|A\right|}$$

Na levé straně máme i,j, ale v čitateli máme j,i, na to pozor, není chyba, že je to takto přehozené. V čitateli máme matici A_j,i, což je submatice matice A, kterou získáme tak, když z matice A odstraníme j-tý řádek a i-tý sloupec. Takže pokud

$$ A=\begin{pmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9 \end{pmatrix}, $$

tak platí:

$$ A_{1{,}1}=\begin{pmatrix} \not{1}&\not{2}&\not{3}\\ \not{4}&5&6\\ \not{7}&8&9 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5&6\\ 8&9 \end{pmatrix},\quad A_{1{,}3}=\begin{pmatrix} 4&5\\ 7&8 \end{pmatrix},\quad A_{2{,}2}=\begin{pmatrix} 1&3\\ 7&9 \end{pmatrix} $$

Pokud se vám nelíbí, že se tam jsou obráceně indexy, můžeme to napsat ještě takto:

$$(a^{-1}_{ij})^T=\frac{(-1)^{i+j}\cdot\left|A_{i,j}\right|}{\left|A\right|}$$

Neboli pokud nepřehodíte indexy, vypočítáte transponovanou inverzní matici. Pokud tuto transponovanou matici znova transponujete, získáte inverzní matici.

Počítání pomocí této metody je obvykle zdlouhavé, hodí se především pro strojové zpracování, protože je velmi přímočaré. V příkladě si zkusíme vypočítat jen dvě čísla. Takže mějme tuto matici:

$$ A=\begin{pmatrix} 3&-4&5\\ 2&-3&1\\ 3&-5&-1 \end{pmatrix} $$

Jako první vypočítáme determinant celé této matice, ten se používá ve jmenovateli zlomku:

$$det(A)=-1$$

Teď spočítáme první prvek inverzní matice. Označíme ho a⁻¹₁₁. Ten bude rovný:

$$a^{-1}_{11}=\frac{(-1)^{1+1}\cdot\left|A_{1{,}1}\right|}{\left|A\right|}$$

Budeme potřebovat submatici A_1,1. Vynecháním prvního řádku a prvního sloupce získáme:

$$A_{1{,}1}= \begin{pmatrix} -3&1\\ -5&-1 \end{pmatrix} $$

Teď potřebujeme vypočítat determinant této matice:

$$det(A_{1{,}1})=8$$

A teď už můžeme úplně dosadit do vzorce:

$$a^{-1}_{11}=\frac{(-1)^{2}\cdot8}{-1}=\frac{1\cdot8}{-1}=-8$$

A máme první výsledek inverzní matice.

$$A^{-1}= \begin{pmatrix} -8&?&?\\ ?&?&?\\ ?&?&? \end{pmatrix}$$

Druhé číslo získáme takto:

$$a^{-1}_{12}=\frac{(-1)^{1+2}\cdot\left|A_{2{,}1}\right|}{\left|A\right|}$$

Determinant submatice bude roven

$$det(A_{2{,}1})= \begin{vmatrix} -4&5\\ -5&-1 \end{vmatrix}=29 $$

A celkovým dosazením získáme:

$$a^{-1}_{12}=\frac{(-1)^{3}\cdot29}{-1}=\frac{-1\cdot29}{-1}=\frac{-29}{-1}=29$$

Další díl do skládačky:

$$A^{-1}= \begin{pmatrix} -8&29&?\\ ?&?&?\\ ?&?&? \end{pmatrix}$$

A tak dále, a tak dále.