Komplexní čísla

Od běžných čísel se ta komplexní liší především v tom, že obsahují dvě části — reálnou a imaginární. Komplexní číslo je dvojice uspořádaných čísel [x, y], kde číslo x představuje reálnou část a číslo y imaginární část. Pokud je reálná část nulová, jedná se o ryze imaginární komplexní číslo. Samotná čísla x a y jsou reálná.

Množina komplexních čísel se značí velkým písmenem cé: .

Rovnost komplexních čísel: na rozdíl od běžných čísel komplexní čísla obsahují dvě složky. Pokud se tak mají dvě komplexní čísla rovnat, musí se rovnat v obou složkách. Tato komplexní čísla jsou tak navzájem různá: [2, 3]≠[0, 3]≠[2, 0]. Komplexní čísla z₁ = [1,2] a z₂ = [1,2] si jsou rovna: z₁ = z₂.

Komplexní čísla se častěji zapisují v algebraickém tvaru, který vypadá následovně. Komplexní číslo [x, y] má algebraický tvar x+yi, kde i se nazývá imaginární jednotka. Pro druhou mocninu imaginární jednotky platí velmi důležitý vztah:

Tato rovnice se bude dále často používat, spolu s dalšími mocninami. Vyšší mocniny se už totiž dají vypočítat běžným způsobem. Například pokud bychom chtěli zjednodušit i³, můžeme výraz podle pravidel počítání s mocninami rozložit na i²· i. Už víme, že i² je rovno minus jedné. Druhé íčko už nijak nerozložíme, takže dostaneme: i³ = −i.

Podobně pro i⁴. To můžeme rozložit na i² · i², přičemž i² = −1, takže dostáváme: −1·−1 = 1.

Takže i⁴ = 1. Toho faktu můžeme využít, pokud počítáme ještě vyšší mocniny imaginární jednotky. Například když počítáme i⁷, tak si to můžeme rozložit na i⁴ · i³. Víme, že i⁴ = 1, takže dostaneme: 1 · i³. A víme, že i³ = −i. Výsledek je: 1·(−i) = −i.

Komplexní čísla můžeme sčítat a násobit. Při sčítání dvou komplexních čísel z₁ a z₂ pouze sečteme zvlášť reálné části a imaginární části:

Příklad: z₁ = 3+7i a z₂ = 5+8i. Součet by vypadal takto: z₁+z₂ = (3+5)+(7+8)i = 8+15i.

Součin dvou komplexních čísel je už trochu složitější, ale lze to rozepsat do klasického násobení závorek. Základní vzorec vypadá takto:

A jak jsme se k němu dostali? Zkusíme si vynásobit z₁· z₂ stejně, jako bychom násobili běžnou závorku. Dostaneme:

Protože i² = −1, dostaneme po úpravě posledního členu:

A teď už jen dáme k sobě členy bez imaginární jednotky a s ní:

Příklad. Zkusíme vynásobit čísla 5+6i a 4+7i. Dostaneme:

• Opačné číslo ke komplexnímu číslu x+yi má tvar −x−yi. Podobně jako v případě reálných čísel získáme opačné číslo tak, že dané komplexní číslo vynásobíme minus jedničkou. Příklad: opačné číslo k 2+7i je −2−7i. Opačné číslo k −5+8i je 5−8i apod.
• Převrácené číslo ke komplexnímu číslu x+yi má tvar . Převrácené číslo k číslu 4−2i má tak tvar .
• Komplexně sdružené číslo k číslu x+yi má tvar x−yi. Značí se obvykle pomocí pruhu takto: , případně pomocí hvězdičky z*.Takové číslo je číslo komplexně sdružené ke komplexnímu číslu z. Komplexně sdružené číslo k číslu 2+9i je číslo 2−9i.

Když už máme definované opačné a převrácené číslo, můžeme definovat také operace odečítání a dělení. Pokud chceme odečíst dvě komplexní čísla, z₁−z₂, tak k číslu z₁ přičteme opačné číslo čísla z₂. V praxi dostaneme jednoduchý vzorec:

Podobně dělení z₁ / z₂ převedeme na násobení tak, že vynásobíme , kde je převrácené číslo k číslu z₂.

Absolutní hodnotu komplexního čísla z vypočítáme pomocí vzorečku:

(V druhé odmocnině je to druhé z komplexně sdružené číslo k z.) Význam tohoto vzorce je dobře vidět v geometrickém vyjádření komplexních čísel.

Každé komplexní číslo, jehož absolutní hodnota je rovna jedné, se nazývá komplexní jednotka. Příklady komplexních jednotek: 1, i, .

Vlastnosti absolutní hodnoty:

• Absolutní hodnotou komplexního čísla je reálné číslo.
• |z|≥0
• |z| = |−z| = |z*|, kde z* je komplexně sdružené číslo.

• Diplomová práce na cuni.cz
• maths.cz