S kvadratickými rovnice už je větší legrace. Takže předně kvadratická rovnice se od předchozí lineární rovnice liší tím, že obsahuje kvadratický člen, například x2. Obecně bychom tedy kvadratickou rovnici zapsali takto: ax2 + bx + c = 0, kde ax2 se nazývá kvadratický člen, bx lineární člen a c absolutní člen. Než přejdu k řešení této obecné kvadratické rovnice, zmíním nejprve speciální typy kvadratických rovnic.
Pokud se b = 0 jedná se o ryze kvadratickou rovnici (ax2 + c = 0), která se řeší obdobně, jako lineární funkce. Absolutní člen přehodíme na druhou stranu rovnice, podělíme výrazem a a vyjde nám něco takového: x2 = −c / a. Poté už stačí celou rovnici odmocnit a výsledek je na světě. Přitom musí platit podmínka, že výraz −c / a > 0 (Nemůžete odmocňovat záporné číslo, tedy alespoň ne v oboru reálných čísel). Při odmocňování nezapomeňte, že výsledek může být jak kladný, tak záporný (pokud odmocňujete devítku, výsledek může být jak tři, tak méně tři).
Tak si dáme jeden ukázkový příklad:
2x2 − 8 = 0
…dosadíme do vzorečku…
x2 = 8/2 = 4
…a odmocníme…
|x| = 2
Výsledek je tedy x1 = 2 a x2 = −2.
První příklad:
Vyřešte rovnici 80x2 − 5 = 0.
V prvním kroku všechno převedeme na jednu stranu:
x2 = 5/80
Zkrátíme zlomek:
x2 = 1/16
Odmocníme celou rovnici:
|x| = ¼
A výsledek celé rovnice je x1 = ¼ a x2 = −¼.
Další specifický případ kvadratické rovnice nastává, když se absolutní člen rovná nule: ax2 + bx = 0. Tento typ rovnice se řeší vytýkáním neznámé: x(ax + b) = 0. Zde je již vidět poměrně jasný výsledek. Opět vyjdou dva kořeny rovnice, ale jeden z nich bude vždy roven nule, protože pokud vynásobíme výsledek v závorce nulou, vyjde nám zase nula. Druhý výsledek pak logicky zjistíme, když spočítáme, kdy se hodnota v závorce rovná nule, což jde snadno: −b/a. Opět jeden ukázkový příklad:
6x2 + 3x = 0
…vytkneme x…
x(6x + 3)
…a zjistíme, kdy se výraz v závorce rovná nule…
x = −3/6
Výsledek je x1 = 0 a x2 = −3/6.
Druhý příklad:
Vyřešte tento příklad 10x2 + 5x = 0.
Jako první vytkneme x:
x(10x + 5) = 0
Jeden kořen je jasný — nula. Druhý kořen vypočítáme:
10x + 5 = 0
x = −5/10 = −½
Výsledkem jsou kořeny: x1 = 0 a x2 = −½.
Obecná kvadratická rovnice se obvykle řeší pomocí diskriminantu, jenž je součástí ne úplně krátkého vzorečku, který byste si určitě měli zapamatovat, protože kvadratické rovnice se řeší na každém rohu. Samotný diskriminant se vypočítá následovně: D = b2 − 4ac. Již z tohoto výsledku můžeme vyčíst, kolik bude mít rovnice kořenů. Pokud vyjde diskriminant kladný, má rovnice dva různé kořeny. Pokud je diskriminant roven nule, má rovnice jeden dvojnásobný kořen (laicky řečeno, vyjdou vám sice dva kořeny jako v předchozím případě, ale budou oba dva stejné). Pokud vyjde diskriminant záporný, nemá rovnice v oboru reálných čísel řešení, zde již musí nastoupit komplexní čísla, v jejichž oboru můžeme odmocnit i záporná čísla.
Celý strašidelný vzoreček na výpočet kořenů vypadá takto:
Z tohoto vozrečku je již pochopitelné, proč v oboru reálných čísel nemůže mít kvadratická rovnice řešení, vyjde-li diskriminant záporný. Diskriminantem lze fakticky vyřešit jakoukoliv kvadratickou rovnici, ale někdy se přece jenom hodí použít alternativní jednodušší způsob, obzvláště, když nemáte po ruce kalkulátor a především, když rovnice splňuje jisté podmínky.
Pokud se a = 1, můžete zkusit zjistit kořeny pomocí rozkladu. Platí totiž, že součet kořenů se rovná −b a součin kořenů se rovná −c. Vysvětlím lépe na příkladu. Máme takovouto kvadratickou rovnici: x2 + 5× + 6 = 0, kterou můžeme jednoduše rozložit takto: (x + 2) × (x + 3) = 0. Dva plus tři se rovná pět, což je b a dva krát tři je šest, což je zase c. Kořeny jsou pak pochopitelně čísla opačná (vždy alespoň jedna závorka se musí rovnat nule, aby se celá strana rovnala nule), tedy −2 a −3. Pokud máte nějakou jednoduchou kvadratickou rovnici, rozhodně využijte tento způsob řešení, stačí zkusit pár kořenů a obvykle řešení najdete, pokud existuje. Je to jednodušší a hlavně rychlejší než to počítat přes diskriminant.
Kvadratickou rovnici můžeme počítat také s parametrem. Parametr je cosi jako další proměnná, akorát že za parametr nedosazujeme; obvykle ho označujeme p. Parametrická rovnice se řeší pomocí diskuse: zjišťujeme, pro jaké hodnoty parametru má daná rovnice kolik řešení. V praxi to vypadá tak, že zjistíme, pro která p se diskriminant rovné nule a pro která p je diskriminant kladný a záporný.
Jako příklad si spočítáme tuto kvadratickou rovnici: px2 − 2px + 5 = 0. Začneme tím, že si vypočítáme diskriminant: (−2p)2 − 4 · 5p; po zjednodušení: 4p2 − 20p. Teď musíme zjistit, kdy je tento diskriminant kladný, kdy záporný a kdy rovný nule:
Pro tato p má rovnice dvojnásobný kořen. Teď musíme zjistit, kdy bude mít rovnice dva kořeny a kdy žádné reálné kořeny mít nebude. Průsečíky s osou x jsme již vypočítali, takže stačí zjistit, který interval je kladný a který záporný. Například pro p = 1 bude rovnice nabývat hodnoty 1(1 − 5) = −4, tedy záporné. V intervalu (0; 5) je diskriminant záporný a kvadratická rovnice nemá reálné řešení. Ve zbývajícím intervalu je diskriminant kladný a rovnice má dva kořeny:
Třetí příklad:
Vypočítejte tuto kvadratickou rovnici: 3x2 + 4x − 7 = 0.
Začneme tím, že vypočítáme diskriminant:
D = b2 − 4ac = 42 + 4 · 3 · 7 = 100
Dále dosadíme do vzorečku na výpočet kořenů rovnice:
Čtvrtý příklad:
Vypočítejte tuto kvadratickou rovnici: x2 − 4x + 4 = 0.
Opět vypočítáme diskriminant:
Diskriminant vyšel nulový, to znamená, že daná rovnice má jeden dvojnásobný kořen.
Pátý příklad:
Vypočítejte tuto rovnici: x2 + 2x − 8
Zde můžeme opět použít diskriminant, ale jednodušší bude aplikovat předchozí pravidlo součtu a součinu. Po chvíli přemýšlení zjistíme, že vyhovuje kombinace (x − 2)(x + 4), takže řešením této rovnice jsou x1 = 2 a x2 = − 4.
Šestý příklad:
Proveďte diskusi u následující kvadratické rovnice s parametrem: px2 − 3px + 2 = 0.
Nejprve si vyjádříme determinant:
A teď zjistíme, kdy se tento diskriminant rovná nule, kdy je kladný a kdy záporný:
Pro tato p je diskriminant nula a proto má rovnice jeden dvojnásobný kořen. Když do rovncie dosadíme jedničku…
…vyjde nám kladné číslo. Pro interval…
…má rovnice dva reálné kořeny a pro zbývající interval (0; 8/9) rovnice nemá reálné řešení.
