Limita funkce

Začneme definicí epsilon okolí bodu na množině reálných čísel. Nechť r ∈ ℝ. Pak řekneme, že epsilon okolí tohoto bodu pro ε > 0 je otevřený interval (r−ε, r+ε). Redukované epsilon okolí je stejné, pouze neobsahuje bod p. Redukované okolí je (r−ε, r) ∪ (r, r+ε). Epsilon okolí bodu a značíme U(a, ε), redukované okolí pak R(a, ε).

Pro příklad si vezmeme číslo pět a jeho 2-okolí. Počítáme tak U(5, 2), což je interval (5−2, 5+2) = (3, 7). Redukované okolí by bylo R(5, 2) = (3, 5) ∪ (5, 7). Totéž okolí, pouze bez bodu pět.

Dále potřebujeme znát definici hromadného bodu množiny. Prvek a ∈ ℝ je hromadným bodem množiny M ⊆ ℝ, pokud platí, že v každém jeho redukovaném okolí leží nějaký bod množiny M. Přesněji:

Příklady: každé reálné číslo je hromadným bodem množiny reálných čísel. Když si zvolíme číslo deset, tak v libovolném redukovaném okolí tohoto bodu vždy nalezneme reálné číslo. Pro ε = 0,01 dostáváme redukované okolí (9,99; 10) ∪ (10; 10,01). V obou intervalech se nachází nějaké reálné číslo — přesněji nachází se tam nekonečně mnoho reálných čísel. Takže ať vezmeme jakkoliv malé ε, vždy dostaneme intervaly, které obsahují nekonečně mnoho reálných čísel.

Pokud bychom za M zvolili množinu přirozených čísel, nenašli bychom žádný hromadný bod. Například číslo ½ není hromadných bodem, protože pro ε = 0,1 dostáváme intervaly (0,4; 0,5) ∪ (0,5; 0,6), přičemž ani jeden z intervalů neobsahuje žádné přirozené číslo.

Začneme s nejlehčí definicí — vlastní limita ve vlastním bodě.

Nechť f je funkce, x₀ ∈ ℝ je hromadný bod definičního oboru funkce f. Pak řekneme, že L ∈ ℝ je limitou funkce f v bodě x₀, jestliže

A teď co tato definice znamená. Budeme potřebovat obrázek.

Vlastní limita ve vlastním bodě

Jedná se o graf jednoduché lineární funkce f(x) = x/3. Ta je zobrazena černou čárou, stejně jako osy. Zelenými čárami je zobrazeno epsilon okolí limity L a červenou delta okolí bodu x₀.

Na rozdíl od limit posloupností musíme u limit funkcí udat bod, ve kterém chceme limitu spočítat. U posloupností se automaticky předpokládá, že limitu počítáme v nekonečnu. Vzhledem k nakreslenému obrázku budeme počítat limitu, kde se x blíží ke trojce:

Čteme: „limita x lomena třemi pro x blížící se třem“.

Jakému číslu se blíží funkční hodnota naší funkce, pokud se argument funkce blíží trojce? Argument funkce je na x-ové ose, funkční hodnota na y-ové. Jasně vidíme, že se blíží jedničce — přesněji řečeno, v bodě x = 3 je hodnota funkce právě jedna. U takto jednoduchých funkcí se limita rovná funkční hodnotě v daném bodě.

Výsledek už sice známe, ale vysvětlení definice ne. Na začátek poznamenám, že zápis |x−x₀| < δ lze číst jako „vezmi všechna x, která jsou od x₀ vzdálena o méně než δ“. Pokud bychom si dosadili do nerovnice tyto hodnoty: |x−6| < 4, tak zjistíme, že nerovnice bude dávat smysl pro ta x, která jsou od šestky vzdáleny méně než čtyři. Například číslo 7 nebo 3.

Takže co nám definice říká: musíme mít zvolený hromadný bod x₀, což máme (číslo tři). Předpokládáme, že funkce má limitu v L = 1. Vytvoříme kolem L = 1 epsilonové okolí. To je znázorněno zelenými čárami, má velikost ε = 0,2, ale to není podstatné. V tuto chvíli musíme být schopni najít takové redukované okolí delta kolem bodu x₀, aby všechny funkční hodnoty z daného okolí delta spadaly mezi ty dvě zelené čáry, tedy do epsilonového okolí. Toto je na obrázku znázorněno modrou čárou na grafu funkce. Pokud si spočítáme funkční hodnoty bodů z delta okolí, pak dostaneme tu modrou čáru a tato čára leží celém v zeleném pásu.

Základní krok už máme za sebou, ale toto nestačí. Pokud má být v bodě L limita, pak ať jakkoliv zmenšíme epsilon okolí, musíme být vždy schopni najít nějaké delta okolí, které splňuje zmíněnou vlastnost. Pokud zmenšíme epsilon okolí jako v následujícím obrázku,

Zmenšené epsilon

tak stále můžeme přiměřeně zmenšit delta okolí a modrá čára se dostane zpět mezi zeleně vytyčené hranice.

Přiměřeně zmenšené delta

Epsilon můžeme neustále zmenšovat a přibližovat nule a stále musíme být schopni vyhovět definici, pokud má být L limita.

Nyní ještě načrtnu, co by se stalo, kdybychom si mysleli, že limita funkce pro x blížící se třem má hodnotu jedna polovina. Zvolili bychom si nějaké malé okolí epsilon:

Špatně určená limita

A v tuto chvíli již nemůžeme najít takové delta okolí bodu x₀, jehož všechny funkční hodnoty by se vešly mezi tyto zelené čáry.

Špatně určená limita

Ještě si můžeme uvést jednu definici vlastní limity, která využívá okolí bodů:

V předchozí části jsme se bavili o vlastní limitě ve vlastním bodě. Bod x₀ je vlastní, pokud x₀ ∈ ℝ, pokud je to reálné číslo. Ale bodem můžeme myslet i nekonečno — takový bod pak nazveme nevlastní. Rozlišujeme plus a minus nekonečno: +∞, −∞. Nevlastní limita ve vlastním bodě tak znamená, že máme nějakou funkci f, vlastní bod x₀ a limita v tomto bodě nám vyjde nekonečno. Příkladem takové funkce může být f(x) = |1/x|. Graf:

Graf funkce f(x) = |1/x|

Ve vlastním bodě x₀ = 0 má funkce limitu plus nekonečno — ať už se k x přibližujeme z kterékoliv strany, vždy nám hodnota roste do nekonečna. Nechť x₀ je hromadným bodem definičního oboru funkce f. Funkce f má v bodě x₀ limitu +∞, pokud

a −∞ pokud

Pokud je definice splněna, můžeme napsat

Co nám definice říká? Proměnná K představuje, v první definici, jakousi hranici na ose y. Definice pak říká, že ať zvolíme jakkoliv velkou (vysokou) hranici K, vždy najdeme nějaké δ-okolí bodu x₀, přičemž pro všechny prvky z tohoto okolí bude platit, že mají funkční hodnotu větší než K.

Pro příklad si zkusíme ukázat definici na předchozí funkci — budeme hledat limitu v bodě x₀ = 0. Zvolíme K = 4:

Graf funkce f(x) = |1/x| a hranicí K

Nyní musíme najít takovou hodnotu δ, aby všechny body z intervalu (−δ, 0) ∪ (0, δ) měly funkční hodnotu větší než K. Můžeme zvolit například δ = 0,2. Když to zakreslíme do obrázku, dostaneme:

Graf funkce f(x) = |1/x| a hranicí K a okolím δ

Vidíme, že funkční hodnoty, které jsou v intervalu (−δ, 0) ∪ (0, δ) se nachází nad hodnotou K. Můžeme si to také spočítat. Pro hodnotu x = −0,2 dostáváme f(−0,2) = |−1/0,2| = 5. Funkce je v záporných číslech rostoucí, takže pro všechna x z intervalu (−0,2; 0) bude bude funkční hodnota určitě větší než pět a tedy i větší než K = 4. Podobně pro druhý interval.

Teď jsme to ukázali jen pro jedno konkrétní K. Pokud má mít funkce limitu v nekonečnu, musí to platit pro jakékoliv K. Zkusíme si to dokázat. Protože f(x) = f(−x) (funkce je sudá), stačí, když budeme počítat pouze s kladnou variantou, tj. s omezíme se na interval (0, ∞).

Máme dané nějaké K a my musíme najít takové δ, aby platilo, že pro všechna x ∈ (0, δ) je f(x) > K. Protože je funkce v kladném intervalu klesající, stačí, když nalezneme takové δ, pro které platí f(δ) > K. Pak to bude jistě platit i pro všechna x ∈ (0, δ). Nyní řešíme tuto nerovnici: f(δ) > K, po dosazení:

Celou nerovnici nyní vynásobíme δ. Hodnota δ je z definice vždy kladná, takže si to můžeme dovolit. Dostaneme:

Uvažujme nyní, že K > 0. Pro K ≤ 0 je důkaz triviální, protože f(x) > 0 pro všechna x. Nyní můžeme celou rovnici vydělit K:

To je výsledek. Pokud budeme mít zadané K, hodnotu δ nalezneme tak, že vezmeme jakékoliv číslo, které je menší než hodnota 1/K (a větší než nula, podle definice) a získáme náš interval (0, δ).

V předchozím případě jsme měli K = 4. Pokud si dosadíme, tak zjistíme, že 1/4 > δ. Delta musí být menší než jedna čtvrtina. My jsme zvolili 0,2, jednu pětinu a vyšlo nám to správně.

Tato situace je podobná limitám posloupnosti. Hledáme, jakou limitu má funkce, pokud se blížíme nekonečnu. Limita může být buď vlastní nebo nevlastní. Začneme s vlastní limitou.

Nechť ∞ je hromadným bodem funkce D(f). Pak L ∈ ℝ je limitou funkce v bodě ∞, pokud

a v bodě −∞ pokud

Co nám definice říká? Že pokud si zvolíme nějaké ε-okolí kolem námi zamýšlené limity L (tedy na ose y), pak jsme vždy schopni najít na ose x takový bod A, že když vezmeme jakýkoliv bod x napravo od A, tedy x > A, tak bude platit |f(x)−L| < ε, tedy všechny funkční hodnoty budou od limity L vzdáleny méně než ε.

Vezměme si funkci f(x) = (2/x)+1. Graf:

Graf funkce f(x) = (2/x)+1

Je vidět, že pokud se s hodnotou x blížíme k nekonečnu, funkční hodnota f(x) se blíží k jedničce. Takže zvolíme L = 1. Nyní dokážeme, že L = 1 je opravdu limita této funkce v plus nekonečnu. Nejprve si to vyzkoušíme. Zvolíme nějaké epsilon, například ε = ½. Nyní zkusíme nalézt takové A ∈ ℝ, aby platilo, že pro všechny x, které jsou větší než A, je funkční hodnota vzdálena od L méně než ε. Načrtneme si to do obrázku:

Graf funkce f(x) = (2/x)+1 s vyznačeným ε

Že je funkční hodnota f(x) vzdálena od bodu L méně než ε znamená, že křivka popisující graf funkce se nachází mezi těmi zelenými čárami. My musíme nyní najít hranici A na ose x, od které je tato podmínka splněna. Nemusí to být nutně nejmenší možná hranice, takže si můžeme zvolit například A = 6.

Graf funkce f(x) = (2/x)+1 s vyznačeným ε a bodem A

Vidíme, že křivka popisující graf se za hranicí A nachází celá mezi zelenými čárami, které vyznačují ε-vzdálenost od L. Teď jsme to dokázali pro jedno konkrétní ε, abychom dokázali, že L = 1 je skutečně limita, musíme to být schopni dokázat pro všechna ε > 0.

Nyní musíme zjistit, pro jaká A platí tento vztah:

Po dosazení:

Můžeme odečíst jedničky:

Dále můžeme předpokládat, že budeme brát pouze kladná x (zajímají nás hodnoty x, které se blíží plus nekonečnu), čímž můžeme odstranit absolutní hodnotu:

Vynásobíme x:

Vydělíme ε:

Úpravami jsme zjistili, že x musí být větší než 2/ε. Takže pokud za A zvolíme nějaké číslo, které bude větší než 2/ε, pak nalezneme hranici, kterou jsme hledali.

V předchozím pokusu jsme zvolili ε = ½, takže bychom za A měli zvolit číslo, které je větší než 2/½ = 4. My jsme zvolili A = 6, což je v pořádku.

Kombinace předchozích limit — hledáme limitu funkce pro x blíží se plus nebo minus nekonečnu a samotná limita nám také vyjde buď plus nebo minus nekonečno.

Řekneme, že ∞ je limitou funkce v bodě ∞, pokud

a v bodě −∞ pokud

Podobně pro x blížící se k −∞. Definice kombinuje předchozí principy. Říká nám, že pokud hledáme limitu v nekonečnu a ta má být zase nekonečno, pak pro každou hranici K na ose y nalezneme hranici A na ose x tak, že všechny funkční hodnoty f(x) pro x > A, tedy za hranicí A, budou větší než zvolená hranice K. jinými slovy: funkce f(x) roste nade všechny meze. Ať na ose y zvolíme jakoukoliv mez, vždy ji funkce časem přeroste.

Můžete si představit jednoduchou funkci f(x) = x. Pokud na ose y zvolíme mez K, tak pro všechna x > K získáme funkční hodnoty, které jsou větší než K.

K bodu x₀ se můžeme blížit pouze z nějaké strany — buď zleva, nebo zprava. Zapisuje se to pomocí značek minus a plus v horním indexu. Takže „x blížící se k sedmičce zleva“ a „x blížící se k desítce zprava“ bychom zapsali takto:

Definici upravíme jednoduše tak, že místo celého okolí hromadného bodu budeme brát pouze jeho levé či pravé okolí. Upravená definice limity zprava:

Všimněte si, že v implikaci bereme pouze ta x, která jsou větší než x₀ — bereme tak ta x, která jsou na číselné ose napravo od čísla x₀. Definice limity zleva:

Levá a pravá limita se obecně nemusí rovnat. Může nastat několik případů: funkce má v bodě limitu zleva i zprava, funkce má jen jednu z těchto limit a nakonec nemusí mít ani jednu z těchto limit.

Přitom platí, že funkce f má v bodě x₀ právě tehdy, když má v tomto bodě limitu zleva a zprava a obě limity se rovnají. Pokud má obě jednostranné limity, ale tyto limity jsou různé, pak funkce nemá v daném bodě limitu — má pouze jednostranné limity.

Zkusíme si vše demonstrovat na jednoduché funkci f(x) = 1/x. Graf následuje:

Graf funkce f(x) = 1/x

Triviálním případem je limita pro x blížící se k jedné. V bodě jedna je funkce spojitá, je definovaná a vůbec je to hezký příklad. Zleva i zprava se funkční hodnota blíží jedničce, takže i limita bude jedna. Co ale, když budeme chtít spočítat limitu pro x blížící se k nule?

Toto už je zajímavý příklad. Všimněte si, že se snažíme hledat limitu v bodě, který není v definičním oboru funkce. Pokud dosadíme do funkce hodnotu nula, získáme neplatný výraz (nulou nepodělíš!). To nám vůbec nevadí, protože v definici se mluví o hromadném bodě a nula je hromadným bodem definičního oboru, protože v každém jeho okolí nalezneme nějaký prvek definičního oboru funkce.

Když se podíváme na graf a začneme se z levé strany blížit nule, vidíme, že se funkční hodnota neustále snižuje. Příklady: f(−10) = −1/10, f(−1) = −1, f(−½) = −2, f(−1/10) = −10. Pokud bychom si vzali nějaké záporné číslo, které se „hodně“ blíží nule, třeba −0,000 001, dostali bychom jako funkční hodnotu „velmi“ malé číslo: −1 000 000.

Čím blíže budeme k nule z levé strany, tím více se funkční hodnota bude blížit k minus nekonečnu. Naopak vidíme, že pokud se k nule blížíme z pravé strany, potom funkční hodnota roste. Čím více se blížíme k nule zprava, tím více se funkční hodnota blíží k nekonečnu. Jak to vyřešíme? Jednoduše řekneme, že funkce nemá v bodě nula limitu. Má pouze dvě různé jednostranné limity:

Signum je krásná funkce, která vám asi zamotá hlavu. Graf následuje:

Graf funkce f(x) = sgn(x)

Graf není úplně jasný, takže slovní popis: pokud je x záporné, pak je signum minus jedna, pokud je kladné, pak je plus jedna a pokud je x nulové, pak je i signum nula. Graf upravíme pomocí absolutní hodnoty f(x) = |sgn(x)| a získáme tak sgn(0) = 0, pro ostatní případy sgn(x) = 1. Graf:

Graf funkce f(x) = |sgn(x)|

Otázka zní, čemu je rovna tato limita?

Funkce je v bodě nula definována a funkční hodnota je rovna také nule. Nicméně to nám neříká, že se také limita bude rovnat nule. Limita se může lišit od funkční hodnoty v daném bodě.

Jediná možnost, jak zvolit limitu tak, aby nám správně vyšla definice, je zvolit limitu v jedničce. Můžeme si pomoci i intuicí: čemu se blíží funkční hodnota, pokud se x blíží k nule zleva? Neustále se blíží k jedničce. Že nakonec uskočí k nule nám nevadí. Obdobně pro x blížící se k nule zprava.

Pokud bychom ponechali funkci v původním tvaru, tj. f(x) = sgn(x), pak funkce v bodě nula nebude mít limitu, bude mít dvě různé jednostranné limity. Zleva se bude x blížit k minus jedné a zprava k plus jedné. Můžete si to zkusit dokázat podle definice.

Ukážeme si ještě několik příkladů, kdy limity neexistují.

Nejjednodušší příklad neexistence limity je spočítat limitu v bodě, který není hromadným bodem D(f). Takže například neexistuje limita:

Periodické funkce často nemají limitu v nekonečnu (neplatí pro všechny!). Typicky goniometrické funkce jako třeba sinus. Graf následuje:

Graf funkce f(x) = sin(x)

Limita v nekonečnu zkrátka neexistuje, hodnota sinu neustále osciluje mezi jedničkou a minus jedničkou, limitu tak nelze spočítat.

• Jan Tomeček, Matematická analýza 1
• Rychlokurz počítání elementárních limit funkcí
• Řešené příklady na CUNI [PDF]