Lineární rovnice

Při výpočtu lineární rovnice můžeme použít mnoho různých ekvivalentních úprav (to jest takové úpravy, které nezmění výsledek rovnice – například umocnění je neekvivalentní úprava, která by výsledek změnila a bylo by nutné provádět zkoušku, což při použití ekvivalentních úprav není nezbytně nutné). První a asi nejpoužívanější úprava je přičítání výrazů k oběma stranám rovnice. Neboli „přehazování“ výrazů na druhou stranu rovnice s opačným znaménkem. Předchozí rovnici bychom tedy mohli upravit takto: 2x = −4. Teď už jen stačí podělit celou rovnici dvojkou a vychází nám výsledek x = −2. Z toho se dá také odvodit poměrně jednoduchý vzorec: x = −b / a.

Obdobně se dá i řešit lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli. Ovšem místo dělení tentokrát použijeme násobení. Takže máme takovouto rovnici: . Pokud celou tuto rovnici vynásobíme jmenovatelem, tj. proměnnou x, dostaneme takovouto rovničku: 30 = 6x. Tohle už je jednoduchá lineární rovnice, stačí podělit šesti a vyjde výsledek x = 5.

Další příklad. Mějme tuto rovnici:

Rovnici nejprve vynásobíme jmenovatelem prvního zlomku, dvojkou:

Teď celou rovnici vynásobíme jmenovatelem druhého zlomku, proměnnou x:

A teď už je to snadné:

Máme-li v lineární rovnici nějaký výraz (respektive proměnnou) v absolutní hodnotě, začínají už mírně komplikovanější počty. Musíme totiž počítat ve vícero intervalech. Máme-li jeden výraz v absolutní hodnotě, vyjdou nám dva intervaly, pokud pracujeme se dvěma výrazy pod absolutní hodnotou, skončíme u tří intervalů a tak dále. Abychom určili ony osudné intervaly, je nutné nejprve zjistit nulové body. Nulový bod je takový bod, při jehož dosazení se výraz v absolutní hodnotě rovná nule. Tento bod je pak hranice mezi tím, kdy je výraz kladný (a kdy se tedy nemění znaménko kvůli absolutní hodnotě) a kdy je záporný (kdy se mění znaménko na kladné). V těchto intervalech poté řešíme rovnici zvlášť a výsledky sjednotíme.

Takže teď už trošku konkrétněji, dáme si nějaký příklad. Máme následující rovnici 3 + 2|x − 5| = 6. Nulový bod výrazu v absolutní hodnotě určíme snadno:

x − 5 = 0 → x = 5

Dostali jsme tedy dva intervaly: (−∞, 5) a <5, ∞). V prvním intervalu je výraz záporný, v druhém kladný. Nyní tedy vypočítáme rovnici v prvním intervalu (−∞, 5). Odstraníme absolutní hodnotu a obrátíme znaménka, neboť v tomto intervalu je výraz záporný a tudíž nám absolutní hodnota převrací znaménka:

Jeden výsledek bychom tedy měli, jen musíme zkontrolovat, zda výsledek odpovídá intervalu, ve kterém pracujeme. Vybíráme totiž x z intervalu (−∞, 5) a je tedy jasné, že pokud by vyšel výsledek například sedm, nemohl by to být platný výsledek, protože sedmička se nenachází v tomto intervalu.

Nyní vypočítáme výsledek v druhém intervalu tedy <5, ∞) (znaménka se nemění, pohybujeme se v kladném intervalu):

A je na světě druhý výsledek, který opět náleží do intervalu, ve kterém se momentálně pohybujeme. Výsledek celé rovnice je tedy sjednocení těchto dílčích výsledků, tedy rovnice má dvě řešení K ={3,5; 6,5}. Pokud si tyto dva výsledky dosadíte do původní rovnice, musí se vám obě strany po výpočtu rovnat.

Lineární rovnice s parametrem je normální rovnice, která ale obsahuje kromě proměnné x i parametr p. Při řešení těchto rovnic hledáme kořeny v závislosti na hodnotě parametru. V zásadě mohou nastat dva případy – buď nám parametr „vyruší“ proměnnou x nebo ne :-). Tak a teď už konkrétně.

Máme tedy takovýto příklad:

(2p + 2)x − 6 = 0

Podobně jako u lineární rovnice s absolutní hodnotou musíme zjistit, kdy se celý výraz s parametrem rovná nule, protože pak nám z rovnice zmizí proměnná x. To nastane v případě, kdy se p = −1. Rovná-li se tedy parametr mínus jedné, nemá rovnice řešení (−6 ≠ 0) a pokud se nerovná mínus jedné, má rovnice řešení , respektive po úpravě . Toť vše.

• Wikipedia
• e-matematika
• Příklady