Lomené výrazy

EU Agency -- individuální doučování a jazyková výuka po celé ČR

Lomený výraz je zlomek, který má v čitateli i jmenovateli nějaký mnohočlen. Lomený výraz se typicky snažíme zjednodušit na nějaký kratší, hezčí výraz.

Základy

Takže ještě jednou, lomený výraz má následující tvar:

$alt: \frac{\mbox{mnohoclen}}{\mbox{mnohoclen}}$

Příkladem lomeného výrazu tak může být následující výraz:

$alt: \frac{x^2-1}{x+1}$

Úkolem pak je zjednodušit tento výraz. Při zjednodušování využíváme stejných postupů jako když upravujeme mnohočleny, takže využijeme například vytýkání a různé užitečné vzorce. Další kapitola shrnuje nejpoužívanější úpravy.

Lomený výraz by měl ve jmenovateli obsahovat nějakou proměnnou, například o tomto neříkáme, že se jedná o lomený výraz:

$alt: \frac{2x+3}{2}$

U lomeného výrazu také obvykle určujeme podmínky, za kterých má lomený výraz smysl. U lomeného výrazu totiž platí, že jmenovatel nesmí být roven nule, protože jak víme, nulou se nedělí.

Techniky

Při úpravě výrazů používáme mnohé techniky, zkusím sepsat nějaký souhrn těch běžných. V prvé řadě je to krácení zlomků. Takže pokud máme v čitateli i jmenovateli výrazy, které mezi sebou jen násobíme, můžeme krátit:

$alt: \frac{2a}{5a}=\frac{2}{5}$

Zde jsme pokrátili proměnnou a. Pokud by zlomek vypadal takto

$alt: \frac{2a+10}{5a}\ne\frac{2+10}{5},$

tak krátit nemůžeme. Jmenovatel je v součtu, takže krácení není povoleno. Často se stane, že sice jmenovatel nebo čitatel zlomku je ve tvaru součtu, ale můžeme v daném výraze něco vytknout a poté už krátit můžeme. Například ve zlomku

$alt: \frac{5a+6ab}{2a}$

máme čitatel ve tvaru součtu, ale můžeme vytknout a a následně pokrátit

$alt: \frac{5a+6ab}{2a}=\frac{a(5+6b)}{2a}=\frac{5+6b}{2}.$

Častou úpravou je také rozložení něčeho podle nějakého vzorce. Nahoře jsme měli lomený výraz

$alt: \frac{x^2-1}{x+1}.$

Pokud aplikujeme na čitatel vzorec

tak dostaneme nový lomený výraz

$alt: \frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}$

a zde už můžeme zkrátit celou závorku (x+1):

$alt: \frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}=\frac{x-1}{1}=x-1.$

Pak samozřejmě různé sčítání a násobení mnohočlenů, úpravy mocnin, sčítání zlomků apod.

První příklad

Zadání příkladu:

$alt: \frac{6a+12b}{2a+4b}$

Vidíme, že v čitateli i jmenovateli můžeme vytknout dvojku, kterou pak můžeme následně zkrátit:

$alt: \frac{6a+12b}{2a+4b}=\frac{2(3a+6b)}{2(a+2b)}=\frac{3a+6b}{a+2b}$

V čitateli dále můžeme ještě vytknout trojku:

$alt: \frac{3a+6b}{a+2b}=\frac{3(a+2b)}{a+2b}$

Celý výraz a+2b můžeme pokrátit a zůstane nám jen trojka:

$alt: \frac{3(a+2b)}{a+2b}=\frac31=3$

Podmínky tohoto lomeného výrazu:

$alt: a+2b\ne0$

Druhý příklad

Zadání příkladu:

$alt: \left(\frac{x+1}{x+2}-\frac{x-1}{x-2}\right)\cdot\frac{x^2-4}{2x}$

V prvním kroku odečteme zlomky ve vnitřní závorce:

$alt: \frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{(x+2)(x-2)}\cdot\frac{x^2-4}{2x}$

Dále roznásobíme závorku ve jmenovateli. Bystřejší studenti si mohou všimnout, že můžeme aplikovat vzorec a²−b²:

$alt: \frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{x^2-4}\cdot\frac{x^2-4}{2x}$

Ve jmenovateli prvního zlomku máme stejný výraz jako v čitateli druhého zlomku a vzhledem k tomu, že tyto zlomky násobíme, můžeme tímto výrazem pokrátit:

$alt: \frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{1}\cdot\frac{1}{2x}=\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{2x}$

Teď musíme aplikovat trochu hrubé práce a roznásobit a sečíst závorky v čitateli a nakonec jednoduše pokrátit:

$alt: \frac{x^2-2x+x-2-(x^2+2x-x-2)}{2x}=\frac{x^2-2x+x-2-x^2-2x+x+2}{2x}=$

$alt: =\frac{-2x}{2x}=\frac{-1}{1}=-1$

Podmínky určíme dle zadání. Tam jsou celkem tři zlomky, žádný ze jmenovatelů se nesmí rovnat nule.

$alt: \parstyle\begin{eqnarray*} x&\ne&2\\ x&\ne&-2\\ x&\ne&0 \end{eqnarray*}$

Třetí příklad

Zadání dalšího lomeného výrazu:

$alt: \left(\frac{a+b}{ab}-\frac{a-b}{ab}+2\right)\cdot\left(\frac{a}{a+1}-\frac{a}{b+1}\right)$

Takže jako první opět nudně sečteme a odečteme výrazy v závorkách. První rozdíl bude jednoduchý, protože oba zlomky mají stejného jmenovatele.

$alt: \left(\frac{(a+b)-(a-b)}{ab}+2\right)\cdot\left(\frac{a(b+1)-(a+1)a}{(a+1)(b+1)}\right)$

roznásobíme a sečteme výrazy v čitatelích:

$alt: \left(\frac{2b}{ab}+2\right)\cdot\left(\frac{ab+a-a^2-a}{(a+1)(b+1)}\right)$

V prvním zlomku pokrátíme proměnnou b a rozšíříme dvojku o a, abychom ji mohli přičíst k prvnímu zlomku:

$alt: \left(\frac{2}{a}+\frac{2a}{a}\right)\cdot\frac{ab-a^2}{(a+1)(b+1)}$

Sečteme zlomky v první závorce a v druhém zlomku vytkneme v čitateli a.

$alt: \frac{2+2a}{a}\cdot\frac{a(b-a)}{(a+1)(b+1)}$

Tak, teď můžeme pokrátit a:

$alt: \frac{2+2a}{\fbox{a}}\cdot\frac{\fbox{a}(b-a)}{(a+1)(b+1)}=(2+2a)\frac{b-a}{(a+1)(b+1)}$

Nyní jen vynásobíme výraz vlevo se zlomkem.

$alt: \frac{(2+2a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$

Z první závorky vytkneme dvojku:

$alt: \frac{2(1+a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$

Teď můžeme zkrátit (1+a) (ve jmenovateli je stejný výraz, jen opačně a+1).

$alt: \frac{2(b-a)}{b+1}$

A to je finální zjednodušené lomený výraz, s tímto výrazem už nejde nic rozumného dělat. Podmínky:

$alt: \parstyle\begin{eqnarray*} ab&\ne&0\rightarrow a,b\ne0\\ a&\ne&-1\\ b&\ne&-1 \end{eqnarray*}$

Dělení mnohočlenů

Lomené výrazy můžete také vyřešit pomocí algoritmu na dělením mnohočlenů mnohočlenem. Může to být výhodné v případě, kdy nelze použít nějaký klasický prostředek na úpravy výrazů.