Matice
Matice nad tělesem P je zobrazení $\left\{1, 2, \ldots, n\right\} \times \left\{1, 2, \ldots, m\right\} \rightarrow P$. Matice se obvykle označuje velkými tiskacími písmeny: A = (…). A teď česky.
Základní pojmy
Matice je zkrátka jakási tabulka o n sloupcích a m řádcích, přičemž toto značení řádků a sloupců nemusí být vždy stejné, na to pozor. V každé buňce tabulky je poté nějaké číslo nebo jiný výraz. Matice nemusí být pouze čistě číselná, i když se ze začátku dost pravděpodobně s jinými maticemi nesetkáte. Takže jak asi může vypadat matice:
$$A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&5\\8&5&51\end{array}\right)$$
Tato matice má dva řádky a tři sloupce. Prvky matice se značí pomocí indexů a namísto velkého písmene se používá malé písmeno: a11 = 0 nebo a23 = 51. První index udává řádek a druhý index sloupec.
Speciální typy matic
Matice mohou mít různé vlastnosti a některé speciální matice mají dokonce své vlastní názvy.
Čtvercová matice je matice, která má stejný počet řádků jako sloupců. Pokud není matice čtvercová, je obdélníková. Příklad čtvercové matice:
$$A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&5\\8&5&23\\47&154&2\end{array}\right)$$
Nulová matice je matice, která má na všech pozicích nuly. aij = 0.
$$A=\left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right)$$
Jednotková matice je čtvercová matice, která má na hlavní diagonále jedničky a všude jinde nuly. Hlavní diagonála je jakoby „úhlopříčka“ zleva doprava. Zkrátka jsou to čísla na souřadnicích, kde se i = j.
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right)$$
Schodovitá matice je matice, která má nulové řádky na konci (nebo nemá žádné nulové řádky) a každý nenulový řádek má na začátku více nul než předchozí řádek. Toto jsou vše schodovité matice:
$$A_1=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&\pi\\0&0&1\end{array}\right), \quad A_2=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right),\quad A_3=\left( \begin{array}{ccccc} 1& 1& 1& 1& 8\\ 0& 0& 0& 5& 1\\ 0 &0& 0& 0 &5 \end{array}\right)$$
Matice transponovaná k matici A je matice AT, u které platí $a_{ij} = a^T_{ji}$, tj. prvek který byl v i-tém řádku a j-tém sloupci bude v transponované matici na j-tém řádku a i-tém sloupci. Zkrátka zaměníte řádky matice za sloupce.
$$\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{ccc}0&1&5\\8&5&23\\47&154&2\end{array}\right)^T &=& \left(\begin{array}{ccc}0&8&47\\1&5&154\\5&23&2\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{ccc}3&4&5\\6&7&8\end{array}\right)^T&=&\left(\begin{array}{cc}3&6\\4&7\\5&8\end{array}\right) \end{eqnarray}$$
Symetrická matice je čtvercová matice A, která se splňuje rovnost A = AT. Prvky symetrické podle diagonály jsou stejné. Můžeme tak napsat, že $a_{ij}=a_{ji}$.
$$A=\left(\begin{array}{ccc}9&3&4\\3&7&0\\4&0&2\end{array}\right)$$
Antisymetrická matice je skoro totéž jako symetrická matice, akorát prvky na druhé straně mají opačné znaménko: A = −AT. Kvůli tomu musí být prvky na hlavní diagonále nulové, protože a = −a = 0.
$$A=\left(\begin{array}{ccc}0&-3&-4\\3&0&5\\4&-5&0\end{array}\right)$$
Diagonální matice je matice, která má nuly všude kromě hlavní diagonály. Přesněji řečeno všude jinde musí být nuly, co je na hlavní diagonále není specifikováno.
$$A_1=\left(\begin{array}{ccc}9&0&0\\0&7&0\\0&0&2\end{array}\right), \quad A_2=\left(\begin{array}{ccc}3&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right)$$
Základní operace s maticemi
Matice můžeme sčítat, můžeme je násobit nějakým číslem a můžeme násobit i matice navzájem.
Sčítání matic je poměrně intuitivní. Pokud jsou matice stejného typu (= stejný počet sloupců a řádků), výsledná matice bude mít na stejných pozicích součty čísel na odpovídajících pozicích v předchozích maticích. Neboli pokud sčítáme matice A + B = C, pak platí $a_{ij} + b_{ij} = c_{ij}$.
$$\left(\begin{array}{ccc}0&1&5\\8&5&23\\47&154&2\end{array}\right) + \left(\begin{array}{ccc}5&4&3\\10&20&30\\7&-54&-12\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}5&5&8\\18&25&53\\54&100&-10\end{array}\right)$$
Sčítání matic je zřejmě komutativní a asociativní. A + B = B + A a A + (B + C) = (A + B) + C.
Násobení matic číslem je také intuitivní. Vezmete číslo a vynásobíte s ním každý prvek matice, nic víc. k · A = k · aij.
$$5\cdot \left(\begin{array}{ccc}0&1&5\\8&5&23\\47&154&2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}0&5&25\\40&25&115\\235&770&10\end{array}\right)$$
Násobení matic
Násobení matic už je trochu horší záležitost, protože už není intuitivní, jak by člověk čekal. Nestačí pouze vynásobit odpovídající členy. V prvé řadě musí matice splňovat kritérium, že počet sloupců první matice musí být stejný jako počet řádků druhé matice. Zbytek může být libovolný. Nyní už můžeme nadefinovat součin (n je počet sloupců první matice):
$$(A\cdot B)_{ij}=\sum_{p=1}^{n}a_{ip}\cdot b_{pj}$$
To toho víte, co? Teď to zkusím objasnit i těm méně bystrým :-). Vezmete první řádek první matice a první sloupec druhé matice. Nyní vynásobíte první prvek s prvním prvkem a sečtete s násobkem druhého prvku s druhým prvkem a sečtete atd. Tím získáte v nové matici C prvek c11. Úplně nejlepší bude příklad. Vynásobíme tyto dvě matice:
$$A=\left(\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}5&6\\7&8\end{array}\right)$$
Nyní vybereme první řádek první matice a první sloupeček druhé matice:
$$A=\left(\begin{array}{cc}\fbox{1}&\fbox{2}\\3&4\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}\fbox{5}&6\\\fbox{7}&8\end{array}\right)$$
Pro přehlednost zápisu si nově vzniklou matici označíme C. Pokud chceme získat první prvek této matice, musíme vypočítat toto: $c_{11} = a_{11}\cdot b_{11} + a_{12}\cdot b_{21}$. Upozorňuji, že na prvním místě indexu je řádek, poté sloupec. Po dosazení dostáváme: 1 · 5 + 2 · 7 = 19. První prvek má hodnotu 19:
$$C=\left(\begin{array}{cc}19&?\\?&?\end{array}\right)$$
Další prvek, c12, získáme stejným způsobem, pouze vezmeme první řádek a druhý sloupec. Tímto zdlouhavým výpočtem vždy získáme ten prvek, který mají společný. První řádek a první sloupec mají společný prvek na souřadnicích c11, první řádek a druhý sloupec zase c12. Hezky to ukazuje následující obrázek:
Teď už jen rychle donásobím zbytek matice:
$$\begin{eqnarray} c_{12} &=& a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22} = 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 = 22.\\ c_{21} &=& a_{21} \cdot b_{11} + a_{22} \cdot b_{21} = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 = 43.\\ c_{22} &=& a_{21} \cdot b_{12} + a_{22} \cdot b_{22} = 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 = 50. \end{eqnarray}$$
Tato čísla už jen zapíšeme do matice:
$$C=\left(\begin{array}{cc}19&22\\43&50\end{array}\right)$$
Správnost výsledku si můžeme ověřit třeba v Excelu nebo v OpenOffisáckém Calcu, které obsahují funkce pro práci s maticemi. Můžete také použít interaktivní online kalkulačku na násobení matic.
Teď pár všeobecných informací o násobení matic. Předně násobení matic není komutativní. Obecně neplatí, že by A · B = B · A, ačkoliv samozřejmě takový případ může nastat. Ale násobení matic je asociativní. Se sčítáním je dokonce distributivní: A (B + C) = AB + AC. Pokud násobíme dvě matice $a_{ix}\cdot b_{xn}$, pak výsledná matice bude typu i × n (bude mít tolik řádků, kolik má první matice řádků a tolik sloupců, kolik má druhá matice sloupců).
Příklady
Máme dány tyto tři matice:
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right),,B=\left(\begin{array}{ccc}4&2&8\\10&12&4\\4&5&9\end{array}\right),,C=\left(\begin{array}{cc}8&9\\-5&4\\10&-1\end{array}\right).$$
Proveďte součin matic A · B.
$$\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}4&2&8\\10&12&4\\4&5&9\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}36&41&43\\90&98&106\\144&155&169\end{array}\right)$$
Proveďte součin matic B · A.
Pozor na to, že násobení matic není komutativní, takže určitě nemůžeme s jistotou říci, že výsledek bude stejný jako v předchozím případě. Musíme to zkrátka celé znova vypočítat:
$$\left(\begin{array}{ccc}4&2&8\\10&12&4\\4&5&9\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}68&82&96\\86&112&138\\87&105&123\end{array}\right)$$
Proveďte součin matic A · C a C · B.
$$\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc}8&9\\-5&4\\10&-1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}28&14\\67&50\\106&86\end{array}\right)$$
Druhý příklad nemůžeme vypočítat, protože počet sloupců první matice je jiný než počet řádků druhé matice.
Základní maticové úpravy
Abychom mohli s maticemi efektivně pracovat, musíme si nadefinovat nějaké elementární maticové úpravy. Předně můžeme vynásobit řádek/sloupec matice nějakým číslem různým od nuly. Vynásobení se projeví stejně jako k-násobek matice, ale pouze v onom řádku/sloupci.
Druhá úprava je přičtení k-násobku j-tého řádku k i-tému řádku. Totéž pro sloupce. Zní to trochu strašidelně, ale je to ve skutečnosti jednoduché. Předvedeme si to pro k = 1. Budeme mít tuto matici:
$$\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right)$$
Nyní k prvnímu řádku přičteme druhý řádek. Vezmeme tedy druhý řádek a čísla na ekvivalentních pozicích přičteme k číslům z prvního řádku. S čísly ze druhého řádku se nic nestane, změní se jen první řádek:
$$\left(\begin{array}{ccc}5&7&9\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right)$$
Nyní můžeme v úpravách pokračovat. Teď zkusíme přičíst dvojnásobek prvního řádku ke třetímu řádku. Vytáhneme z této nově vzniklé matice první řádek, vynásobíme ho dvěma, čímž získáme řádek (10, 14, 18) a tato čísla přičteme ke třetímu řádek. Opět — první řádek se nezmění, změní se pouze třetí řádek:
$$\left(\begin{array}{ccc}5&7&9\\4&5&6\\17&22&27\end{array}\right)$$
Teď přičteme zase ke třetímu řádku součet prvního a druhého řádku. V podstatě to není nic nového, protože když ke třetímu řádku přičteme nejprve druhý řádek a poté první řádek, musíme dojít ke stejnému výsledku. Součet prvního a druhého řádku bude roven: (5, 7, 9) + (4, 5, 6) = (9, 12, 15). Součet tohoto řádku s třetím řádkem pak bude roven: (9, 12, 15) + (17, 22, 27) = (26, 34, 42).
$$\left(\begin{array}{ccc}5&7&9\\4&5&6\\26&34&42\end{array}\right)$$
A ještě jedna sloupcová úprava (ty se obvykle nepoužívají tak často, protože nejsou tolik přehledné). Přičteme první sloupec ke druhému sloupci:
$$\left(\begin{array}{ccc}5&12&9\\4&9&6\\26&60&42\end{array}\right)$$
A úplně naposledy vynásobíme druhý řádek dvojkou:
$$\left(\begin{array}{ccc}5&12&9\\8&18&12\\26&60&42\end{array}\right)$$
Lineární závislost
Teď si ještě vysvětlíme, co jsou to závislé řádky/sloupce. Řádek je lineárně závislý, pokud tento řádek lze vyjádřit jako lineární kombinací ostatních řádků matice. Zkrátka pokud budete schopni různě sčítat řádky tak, aby vám nakonec vyšel hledaný řádek, je tento řádek lineárně závislý. Příklad:
$$\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\6&9&12\end{array}\right)$$
Vezmete-li dvojnásobek prvního řádku a druhý řádek, dostanete řádek třetí. Pokud od třetího řádku odečtete tuto kombinaci, dostanete nulový řádek (řádek obsahující samé nuly). Tento řádek je závislý. Úpravy tedy provedeme takto (vynásobíme první řádek dvojkou, přičteme ke druhému řádku, odečteme od třetího):
$$\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\6&9&12\end{array}\right)\sim \begin{pmatrix}2&4&6\\4&5&6\\6&9&12\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}2&4&6\\6&9&12\\6&9&12\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}2&4&6\\6&9&12\\0&0&0\end{pmatrix}$$
Pokud máme matici A, která má n řádků a Ai označuje i-tý řádek, pak řekneme, že matice neobsahuje lineárně závislý řádek, pokud:
$$\alpha_1A_1+\alpha_2A_2+\ldots+\alpha_nA_n={\bf 0}$$
právě když α1, α2, …, αn = 0. Nula na pravé straně rovnice představuje nulový řádek. Tj. pokud jediné řešení této rovnice je nulové řešení. Pokud nalezneme jiné řešení, pak matice obsahuje lineárně závislý řádek. Obdobně pro sloupec. Pro předchozí matici by platilo:
$$\begin{eqnarray} &&2\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}+1\begin{pmatrix}4&5&6\end{pmatrix}-1\begin{pmatrix}6&9&12\end{pmatrix}=\\ &&=\begin{pmatrix}6&9&12\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6&9&12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$$
Tedy hodnoty alfa jsou α1 = 2, α2 = 1, α3 = −1.
Počet nezávislých řádků nebo sloupců udává hodnost matice.
Regulární a singulární matice
Matice se nazývá regulární, jestliže má maximální hodnost (tj. pokud se v ní nevyskytuje žádný lineárně závislý řádek) a jestliže je to matice čtvercová. Čtvercová matice se nazývá singulární, jestliže není regulární (tj. jestliže matice obsahuje alespoň jeden lineárně závislý řádek). Tyhle dva pojmy jsou docela důležité, respektive často na nich stojí nějaké definice. Spousta věcí je definována, jen pokud je matice regulární.