Mocniny a odmocniny

Dalo by se to též zapsat jako a · a · … · a (kde počet a je n) = aⁿ. Konkrétně řečeno 3² = 9, 2⁴ = 16. Číslo, které umocňujeme, se nazývá základ mocniny a číslo, na které je základ umocněn (horní index), se jmenuje exponent.

Při umocňování ještě platí jedno důležité pravidlo, pokud umocňujete záporné číslo (teď mám na mysli záporný základ mocniny, nikoli záporný exponent). Jestli totiž umocňujete záporné číslo na sudý exponent, mění se znaménko na kladné, pokud umocňujete na liché, zůstává záporné. (−3)² je tedy devět, ale (−3)³ je minus dvacet sedm. Na to pozor.

V praxi se nesetkáváme pouze s poměrně jasně představitelnými exponenty, které jsou tvořeny kladnými celými čísly. Ba naopak. Není výjimkou, když někde v příkladech naleznete exponent záporný, například −2. A co teď? Jak jen si to představit? Docela jednoduše. Záporný exponent není nic jiného, než kdybyste vzali opačné číslo exponentu (tedy z minus uděláte plus), normálně umocníte a z výsledku, který dostanete, uděláte pouze jeho převrácenou hodnotu (1 / vysledek). To je všechno. Matematicky řečeno: a⁻² = 1 / a². Například 2⁻¹ = ½.

A přichází další zesložitění exponentu, představte si, že někde uvidíte takovýto výraz: a^1/2. A co teď? I takovýto výraz si lze docela jednoduše představit, je to totiž pouhé kombinování mocniny a odmocniny. Číslo v čitateli je exponent, na který číslo umocníme a číslo ve jmenovateli je exponent, na který následně číslo odmocníme. Vypadá to složitě, ale v reálu je to jednoduché. Předchozí příklad a^1/2 lze totiž jednoduše přepsat jako √a. Neboli druhá odmocnina z a na prvou. Další příklad a^2/3 by se dal přepsat takto: ³√a² (třetí odmocnina z a na druhou). Dá se to docela jednoduše ukázat na tomto výrazu: 2^4/2. Máte dvě cesty jak postupovat. Buď zkrátíte zlomek a vyjde vám 2² = 4 anebo budete postupovat podle vzorce pro počítání se zlomky a budete mít ²√2⁴, tedy druhá odmocnina ze šestnácti, což jsou opět čtyři.

Pokud není dostupné formátování horních indexů (například v diskusích na internetu nebo v emailech), často se mocnina zapisuje namísto 2³ takto: 2^3

Odmocniny jsou inverzní funkce k umocnění. Pokud nějaké číslo odmocníte a následně umocníte na stejný exponent, vždy dostanete stejné číslo. Je pozorouhodné, že obráceně to již neplatí, z jednoho prostého důvodu, neboť odmocňovat můžete pouze nezáporná čísla. Do odmocniny nikdy nemůžete hodit záporné číslo, v oboru reálných čísel to nemá řešení. Proto například když umocníte minus dvojku na druhou a následně odmocníte, dostanete plus dvojku, ne minus dvojku. Na to pozor při určování definičního oboru.

Jinak s odmocninami se obecně příliš nepracuje, protože se s nimi docela těžko počítá. Většina vzorců, které zmíním za chvíli, pracuje především s exponenty při umocňování, tedy místo druhé odmocniny se obvykle píše exponent „na jednu polovinu“. Pokud je to tedy možné (a je to možné snad vždy), převeďte si odmocniny do srozumitelnějších a snadno představitelnější tvarů pomocí běžných exponentů.

Některé příklady mocnin a odmocnin jsou natolik zvláštní, že si zaslouží větší pozornost. Takže hezky popořadě:

• a¹ = a Cokoliv na prvou se vždy rovná základu mocniny. Prostě do té řady násobků a postavíte pouze jedno a.
• a⁰ = 1 Cokoliv na nultou se vždy rovná jedna
• 0ⁿ = 0; n > 0 nula na entou se vždy rovná nula pro kladná n
• 0⁰ = ? Zde si povšimněte zvláštního paradoxu – z předminulého bodu vyplývá, že cokoliv na nultou je jedna, avšak z předchozí bod říká, že nula na cokoliv je nula. A co takhle nula na nultou? Které pravidlo je v tomto případě silnější? Matematika nemluví jasně, respektive O⁰ se obecně bere jako nedefinovaný výraz, avšak v různých programovacích jazycích obecně platí, že 0⁰ je jedna.

Takže několik vzorečků, které vám ulehčí práci s mocninami:

• a^m · aⁿ = a^(m+n)
• (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ
• a^m / aⁿ = a^{(m − n)}
• (aⁿ)² = a²ⁿ Slovy řečeno a na entou a to celé na druhou se rovná a na dva krát en