Netransitivní kostky
Kapitoly: Problém tří dveří, Pravděpodobnostní lhářův paradox, Vázankový paradox, Simpsonův paradox, Lékařský paradox, Petrohradský paradox, Netransitivní kostky
Představte si, že máte tři šestistranné kostky, které mají na sobě libovolná čísla. Může se stát, že na kostce A padne častěji vyšší číslo než na kostce B, na kostce B padne častěji vyšší číslo než na kostce C a na kostce C padne častěji vyšší číslo než na kostce A?
Transitivita
Transitivita je pojem z binárních relací. Řekneme, že relace R na M je transitivní, pokud pro všechna a, b, c ∈ M platí, že pokud [a, b] ∈ R a zároveň [b, c] ∈ R, pak i [a, c] je v R.
V případě kostek bychom mohli mít relaci „být lepší kostka“ ve smyslu, že kostka A je lepší než kostka B, pokud na kostce A padne častěji vyšší číslo než na kostce B. Pak bude transitivita vypadat takto: pokud je kostka A lepší než kostka B a zároveň kostka B je lepší než kostka C, pak i kostka A musí být lepší než kostka C. Je to pravda?
Zkusíme najít protipříklad, tedy takové tři kostky, které budou cyklicky lepší. Kostka A bude lepší než kostka B, kostka B bude lepší než kostka C a kostka C bude lepší než kostka A. Bereme v potaz vždy jen šestistěnné kostky.
Příklad
Příkladem jsou tyto tři kostky:
- A: 2, 2, 4, 4, 9, 9,
- B: 1, 1, 6, 6, 8, 8,
- C: 3, 3, 5, 5, 7, 7.
Jaká je pravděpodobnost, že na kostce A padne větší číslo než na kostce B? Existuje celkem 36 různých dvojic, jak mohou kostky padnout. Pokud na kostce B padne první jednička, tak na kostce A vždy padne větší číslo. Tj. máme 6 dvojic, kdy na ksotce A padne vyšší číslo. Pokud na B padne druhá jednička, máme dalších 6 dvojic, kdy na A padne vyšší číslo. Pokud padne jedna z šestek, musí na A padnout jedna z devítek. To jsou další 4 možnosti. Pokud padne jedna z osmiček, musí na A padnout jedna z devítek. Opět 4 možnosti. Celkem máme 6 + 6 + 4 + 4 = 20 možností. Pravděpodobnost, že na A padne vyšší číslo je tak 20/36 = 5/9, což je přibližně 55 %.
Teď B vs. C. Pokud na C padne jedna z trojek, musí na B padnout jedna z šestek nebo jedna z osmiček. To je celkem 2 · 4 = 8 možností. Pokud padne pětka, musí opět na B padnout 6 nebo 8, takže zase 8 možností. Pokud padne sedmička, musí na B padnout osmička, 4 možnosti. Celkem 8 + 8 + 4 = 20. Pravděpodobnost je zase 5/9.
Nakonec C vs. A. Pokud na A padne dvojka, vše z C je vyšší. To je 12 možností. Pokud padne čtyřka, může na C padnout 5 nebo 7. To je 8 možností. Pokud padne devítka, máme smůlu. Celkem to dělá 12 + 8 = 20 možností a dostáváme zase pravděpodobnost 5/9.
Efronovy kostky
Efronovy kostky jsou dalším případem sady kostek, které nejsou transitivní vzhledem k relaci být lepší kostka. Mají taková čísla:
- A: 4, 4, 4, 4, 0, 0,
- B: 3, 3, 3, 3, 3, 3
- C: 6, 6, 2, 2, 2, 2
- D: 5, 5, 5, 1, 1, 1
Přitom platí, že kostka porazí následující kostku vždy s pravděpodobností 2/3. Například ve chvíli, kdy na kostce A padne čtyřka, tak nad kostkou B vyhraje. Ve chvíli, kdy padne nula, prohraje. A na kostce A padne čtyřka s pravděpodobností 2/3. Podobně pro ostatní kostky.
Existují i další varianty Efronových kostek. Takové, které mají stejnou průměrnou hodnotu na jeden hod (například kostka A v průměru hodí číslo 8/3, zatímco C má průměr vyšší, 10/3) nebo takové, které si mezi sebou rozdělí všechna přirozená čísla od 1 do 24.