Petrohradský paradox
Kapitoly: Problém tří dveří, Pravděpodobnostní lhářův paradox, Vázankový paradox, Simpsonův paradox, Lékařský paradox, Petrohradský paradox, Netransitivní kostky
Petrohradský paradox míchá dohromady statistiku, rozhodování a pravděpodobnost. V Petrohradě máme kasíno, které nám nabízí hru, ve které můžeme vyhrát určitý počet peněz. Naším úkolem je zjistit, jaká by bylo férové vstupné do této hry.
Pravidla hry
Pokud vstoupíme do hry, žačne obsluha házet mincí. Pokud v prvním hodu padne hlava, hra končí a my jsme vyhráli jedno euro. Pokud padne orel, hra pokračuje dále. V druhém kole se opět hází mincí. Pokud padne hlava, hra končí a my jsme vyhráli dvojnásobek předchozí možné výhry, tedy dvě eura. Pokud padne orel, pokračujeme dále. Padle-li ve třetím kole hlava, vyhráváme čtyři eura. Padne-li ve čtvrtém kole, vyhráváme osm euro.
Když to zobecníme — pokud padla hlava v k-tém kole, pak jsme vyhráli 2k − 1 euro. Otázka nyní zní, jaké by bylo férové vstupné do této hry?
Očekávaná hodnota
Férová cena by se měla odvíjet od očekávané (střední) hodnoty. Pokud například v průměru můžeme vyhrát sto euro, mělo by být vstupné sto euro, respektive o trochu víc, aby kasíno vydělalo. Jaká je ovšem očekávaná hodnota v naší hře? Rozepíšeme si podrobnosti, s jakými můžeme získat jednotlivé výhry. V prvním sloupci jsou výhry, ve druhém je naše šance, že na danou výhru dosáhneme. Například šance, že v prvním hodu padne hlava je $\frac12$. Šance, že padne nejdříve orel a pak hlava je $\frac14$. Apod.
$$\begin{array}{cc} 1&1/2\\ 2&1/4\\ 4&1/8\\ 8&1/16\\ 16&1/32\\ …&… \end{array}$$
Jak nyní spočítáme střední hodnotu? Vynásobíme částku, kterou můžeme získat s pravděpodobností, se kterou na tuto částku můžeme dosáhnout a všechno sečteme. Dostáváme:
$$\begin{eqnarray} E&=&\frac12\cdot1+\frac14\cdot2+\frac18\cdot4+\frac{1}{16}\cdot8+\ldots\\ &=&\frac12+\frac12+\frac12+\frac12+\ldots\\ &=&\sum_{k=1}^{\infty}\frac12=\infty \end{eqnarray}$$
Očekávaná hodnota je nekonečno. Střední hodnota výhry je tak, v idealizovaném případě, nekonečně mnoho euro. To nevypadá špatně. Problémem je, že zároveň i vstup by měl být rovný nekonečnu. To je samozřejmě nesmysl.
Kritici tohoto paradoxu samozřejmě namítají, že nemůžete hrát nekonečně dlouhou dobu, nemůžeme vyhrát nekonečně mnoho peněz a dokonce i když „snížíte“ počet maximálních hodů mincí z nekonečna na nějaké konečné číslo n, pak se stejně poměrně brzy dostanete do takových částek, které nikdo na světě nemá. Například po 41 hodech už byste vyhráli 240 euro, což je přibližně bilion euro (tisíc miliard euro). Po dalších deseti hodech byste vyhráli tisíckrát více peněz.
Konečné vstupné
Nekonečně mnoho euro vám samozřejmě nikdo na vstupném nedá. Nicméně paradox lze částečně předvést i s konečným množstvím peněz. Pro každou celoeurovou částku totiž existuje maximální počet hodů mincí, pro kterou vyjde střední hodnota taková, jakou potřebujeme. Pokud například chceme mít vstupné tisíc euro, řekneme, že maximální počet hodů mincí je 2000. Pak počítáme takovouto sumu:
$$\sum_{k=1}^{2000}\frac12=2000\cdot\frac12=1000$$
Střední hodnota pak bude 1000 euro. Chceme-li mít vstupné ve výši D euro, pak řekneme, že maximální počet hodů mincí je 2D.
Samozřejmě ale žádný rozumný člověk nezaplatí vstupné například tisíc euro, pokud má naprosto minimální šanci, že vyhraje více než tisíc euro.