Počítání s procenty

Procenta obvykle označují nějakou relativní část z celku, přičemž celek jako takový se vyjádří jako 100 %. Procenta se dají vždy přepsat do zlomku.

Procenta jako část celku

Procenta použijeme ve chvíli, když chceme vyjádřit část nějakého celku. Procenty můžeme nahradit výrazy jako „čtvrtina třídy dostala pětku“ nebo „každý druhý člověk je muž“. Vždy máme nějaký celek, například celou třídu žáků, a dále říkáme, že čtvrtina z nich dostala pětku. Pokud je ve třídě 32 žáků a čtvrtina z nich dostala pětku, pak celkový počet žáků, kteří dostali pětku bude roven:

$$ \frac{1}{4}\cdot 32 = 8\quad \mbox{což je totéž jako}\quad \frac{32}{4}=8 $$

V druhém případě můžeme mít město, řekněme Opavu. Ta má přibližně 60 000 obyvatel. Pokud je každý druhý obyvatel muž, pak to znamená, že polovina z nich jsou muži, zapíšeme jako:

$$ \frac{1}{2}\cdot 60, 000 = 30, 000 \quad \mbox{což je totéž jako}\quad \frac{60{,}000}{2}=30{,}000 $$

Dále bychom mohli říci, že „každý stý člověk v Opavě je matematik“. Pak by platilo, že máme v Opavě $\frac{1}{100}\cdot60,000=600$ matematiků. „Každý stý“ je totéž jako „jedna setina obyvatel“.

Nyní můžeme zavést pojem procento. Jedno procento, značíme 1 %, značí jednu setinu z celku. To znamená, že když řekneme, že „každý stý člověk v Opavě je matematik“ a „jedno procento lidí v Opavě jsou matematici“, tak tím říkáme totéž. Jedno procento z celku vypočítáme tak, že celek vynásobíme $\frac{1}{100}$ nebo vydělíme 100, to je totéž.

Procenta můžeme snadno převádět na zlomky a s nimi dále pracovat. Pokud bychom řekli, že „v Opavě má x % lidí tmavé vlasy“, pak je to stejné, jako bychom řekli „v Opavě má $\frac{x}{100}\cdot60,000$“ lidí tmavé vlasy. 100 % Pak představuje celek, tj. všechny obyvatele. Věta „100 % žáků prošlo do dalšího ročníku“ znamená, že prošli všichni žáci. Věta „0 % žáků propadlo“ říká, že nikdo nepropadl. Příklady:

1. 35 % obyvatel Opavy jezdí autobusy. Kolik lidí jezdí autobusy? 35 % je totéž jako $\frac{35}{100}$ celku (= „třicet pět setin celku“). Vypočítáme tak: $\frac{35}{100}\cdot 60,000$. To lze jednoduše spočítat tak, že nejdřív vydělíme 60 000 stovkou a tento výsledek vynásobíme 35. V podstatě děláme tuto úpravu:

   $$ \frac{35}{100}\cdot 60{,}000 = \frac{35\cdot60{,}000}{100}=\frac{35\cdot600}{1}=35\cdot600=21{,}000 $$

   Můžeme si to představit tak, že si nejdříve vypočítáme počet obyvatel, které odpovídá jednomu procentu: $\frac{1}{100}\cdot60,000=600$. Jednomu procentu odpovídá 600 obyvatel. My chceme znát 35 obyvatel, tedy těchto 600 obyvatel už jen vynásobíme 35 · 600 = 21,000.

2. Tomáš si v průměru vydělá 500 korun denně. Dnes si vydělal pouze 75 % své průměrné mzdy. Kolik si Tomáš vydělal? Postup je stále stejný. Celek je 500 a 75 % převedeme na zlomek $\frac{75}{100}$. Tento zlomek můžeme ještě zkrátit na zlomek $\frac{3}{4}$. Vynásobíme celek tímto zlomkem:

   $$ \frac{3}{4}\cdot500=\frac{3\cdot500}{4}=3\cdot125=375 $$

3. Další den si Tomáš spravil chuť a vydělal si 150 % své průměrné mzdy. Kolik si vydělal? Můžeme mít vůbec více než 100 %, když jsme řekli, že 100 % představuje celek? Ano, jde to. Stejně jako někdo může vydělat „třikrát více peněz než v průměru“, tak někdo může vydělat 150 % svého průměru.

   Budeme postupovat úplně stejně. 150 % si převedeme na zlomek $\frac{150}{100}$ a tímto zlomkem vynásobíme Tomášovu průmernou mzdu, tj 500:

   $$ \frac{150}{100}\cdot500=\frac{150\cdot500}{100}=\frac{150\cdot5}{1}=150\cdot5=750 $$

Procenta jako trojčlenka

Část celku vyjdářenou pomocí procent můžeme snadno převést na trojčlenku. Zůstaňme u Tomáše, který si průměrně vydělá 500 korun za den a dnes si vydělal 75 % své průměrné mzdy. Můžeme to totiž pomocí tročlenky zapsat takto:

\begin{eqnarray} 100 % &\quad\ldots\quad&500 \mbox{ korun}\\ 75 % &\quad\ldots\quad&x \mbox{ korun} \end{eqnarray}

Protože jde o přímou úměru, dostáváme tvar:

$$ \frac{75}{100} = \frac{x}{500} $$

Vynásobíme rovnici 500 a máme:

$$ \frac{75\cdot500}{100}=x $$

A odtud už se lehce dopočítáme výsledku:

\begin{eqnarray} \frac{75\cdot500}{100}&=&x\\ \frac{75\cdot5}{1}&=&x\\ x&=&75\cdot5\\ x&=&375 \end{eqnarray}

Vidíme, že nám vyšlo stejné číslo.

A co když známe část a neznáme celek?

V předchozích příkladech jsme vždy počítali s tím, že známe přesnou hodnout celku a máme z ní vypočítat určitou část udanou v procentech. Co když ale známe právě tu část a neznáme celek? Příklad: Tomáš má 120 magických kartiček s velkou zelenou obludou. Nicméně i přes to, že je to úctyhodný počet kartiček zelených oblud, má stále pouze šedesát procent kartiček oproti Janě. Kolik kartiček má Jana?

Zde známe část, ale neznáme celek — ten máme teprve dopočítat. V tuto chvíli víme, že 120 kartiček odpovídá 60 % kartičkám, které má Jana. Abychom zjistili, kolik kartiček odpovídá jednomu procentu, stačí nám vydělit těch stodvacet šedesáti. Dostaneme dvojku 120/60 = 2. Jedno procento kartiček jsou ve skutečnosti dvě zelenoobludné kartičky. Protože počítáme celek — a ten je vždy 100 % — vynásobíme tento počet kartiče stovkou. A máme 200 kartiček, což je správný výsledek.

Můžeme si to ověřit tak, že spočítáme 60 % ze 200: Jednoduše vynásobíme

$$\frac{60}{100}\cdot200=\frac{3}{5}\cdot200=3\cdot40=120$$

Vidíme, že 60 % ze 200 odpovídá 120, což je přesně počet kartiček se zelenou obludou, který má Tomáš.

Sčítání procent

Máme-li spočítat nějaký příklad, kde se vyskytují procenta, vždy je nejlepší, když si místo procent vypočítáme přesné hodnoty a ty poté sečteme. Takže zadání úkolu by mohlo znít nějak takhle: Martin vydělává 15 000, Stanislav 20 000 a Lucka 25 000 korun. Nyní vypočítejte, kolik korun vydělává Simona, která vydělá 30 % toho, co Martin plus 40 % toho, co Stanislav plus 25 % toho, co Lucka.

Zde máme tři výrazy s procenty, ale každý výraz pochází z jiného celku. Martin, Stanislav a Lucka vydělají každý rozdílnou sumu peněz. Takže nejprve si spočteme 30 % platu Martina. To je 15 000/100 = 150. Následně vynásobíme 150 · 30 a dostáváme 4 500. Dále je na řadě 40 % platu Stanislava. To je 20 000/100 = 200. Opět to vynásobíme 40 a máme 200 · 40 = 8 000. Poslední část je 25 % od Lucky. Ta vydělá 25 000, z toho jedno procento je 25 000/100 = 250. Vynásobením 25 dotáváme 250 · 25 = 6 250. Teď už pouze všechny dílčí výsledky sečteme: 4 500 + 8 000 + 6 250 = 18 750. Simona vydělá 18 750 korun, což je docela hezký výdělek.

Nicméně se nám může stát, že opravdu budeme sčítat procenta. Procenta můžeme sčítat pouze v případě, že mají stejný základ, stejný celek. Takže pokud by třeba Kuba vydělal 20 % toho co Stanislav plus 30 % toho, co Stanislav, můžeme ta procenta sečíst, protože se jedná o stejný základ — oba výrazy počítají se základním platem Stanislava. Výsledek tedy bude 20 % + 30 % = 50 %. Kuba vydělá polovinu toho, co Stanislav, deset tisíc.

Zrádné kaskádovité sčítání procent

Teď si představte následující situaci: Milan vydělal první rok 10 000. Druhý rok ale dostal přidáno a zvýšili mu plat o 30 %. Další, třetí, rok dostal opět přidáno a zase mu zvedli plat, i když tentokrát jen o 10 %. Otázka zní, jaký má nyní Milan plat?

Tenhle typ příkladů strašně svádí k tomu posčítat procenta stejně jako v předešlém případě. Vždyť stále — zdánlivě — počítáme se stejným základem, s milanovým platem. Takže spočítáme 30 % + 10 % a přičteme to k jeho základnímu platu. Milan by tak vydělával 14 000 korun. Jenže ono to tak není. Projdeme si to.

V prvním roce dostával 10 000. V druhém roce dostával 10 000 + 30 %. Což je 13 000, jak jistě již sami spočítáte. A nyní v dalším roce mu zvedli plat o deset procent. Jenže pozor! Základ již není oněch deset tisíc, které měl první rok. Základ je již třináct tisíc! A jak víme, sčítat procenta můžeme jen v případě, že se ta procenta počítají ze stejného základu. A v našem případě je základ různý. Poprvé to bylo 10 000 a nyní to je 13 000. Takže poslední rok dostával Milan 13 000 + 10 %, což je 14 300.

Řešení se 14 000 bylo jednak špatné a jednak jsme chudáka Milana očidili o 300 korun. Nebuďte na Milana zlí!

Kupte si učebnici matematiky ve slevě!

Klasický příklad je také se slevou. Představte si, že v obchodě mají učebnici matematiky, kterou byste si moc přáli od Ježíška k narozeninám. Ostatně co jiného byste si také přáli, že? :-)

Před vánoci ale knihu zdraží, o 20 %. Řeknete si, že přeci jen počkáte a koupíte ji po vánocích. Udělali jste dobře, protože obchod po svátcích slevnil knihu o 20 %. Otázka zní — stojí kniha stejně jako před zdržení? Nebo stojí více/méně?

Zdravý rozum některých lidí opět velí, že kniha bude stát stejně, ale není to pravda. Pojďme si to spočítat. Dejme tomu, že kniha stála 300 korun. 20% zdražení znamená, že kniha byla dražší o $\frac{20}{100}\cdot300=60$ korun. Kniha tak stála 360 korun.

Jenže 20% sleva už se nepočítá ze základu 300, ale ze základu 360! To znamená, že kniha zlevní o $\frac{20}{100}\cdot360=72$ korun. Kniha po slevě stojí 288 korun.

(Ale po pravdě, kdo by kupoval učebnici matematiky, když je tu pro vás Matematika polopatě ;-))

Promile

Promile se nejčastěji používají při měření alkoholu v krvi řidiče. Někteří lidé se mylně domnívají, že promile je tisícina z procenta, ale to je chyba, pozor na to. Promile je tisícina z celku. Jinak se s promilí počítá úplně stejně jako s procenty. Pokud chcete zjistit x promile z 5000, spočítáte to jako $\frac{x}{1000}\cdot 5000$. Místo 100 je ve jmenovateli zlomku 1000. Tři promile z 5000 tak je $\frac{3}{1000}\cdot5000=3\cdot5=15$.

Promile se značí pomocí symbolu ‰. Platí tak, že $x ‰ = \frac{x}{10} %$.

Více v samostatném článku o promilích.

Typografie procent

Je rozdíl mezi zápisy „100 %“ (s mezerou) a „100%“ (bez mezery). Verze s mezerou znamená „sto procent“, kdežto verze bez mezery znamená „stoprocentní“. Myslete na to, prosím, při psaní a příliš se nevzrušujte v případě, kdy to v novinách budou mít blbě :-).

Procentní bod

Kromě normálních procent ještě můžeme mít procentní body. Jaký je mezi tím rozdíl? Představte si, že prohlížeč Firefox před dvěma lety používalo 20 % lidí, ale tento rok ho používá již 30 % lidí. Jaký je nárust mezi těmito dvěma lety? Chybou by bylo říci, že nárust je desetiprocentní. Pokud Firefox používalo nejdříve 20 % lidí a poté 30 %, tak to znamená, že ho nyní používá o polovinu více lidí než předtím. Což značí padesátiprocentní nárust.

Ale zase je trochu blbé říkat, že je nárust 50 %, když by pro všechny bylo srozumitelnější, kdybychom řekli, že se počet procent zvedl o deset. A přesně k tomu máme procentní body. V tomto případě můžeme říci, že nárust používanosti prohlížeče Firefox činí deset procentních bodů. Procentní body můžeme použít v případě, když chceme vyjádřit jednoduchý rozdíl mezi dvěma procentuálními údaji.