Průběh funkce

EU Agency -- individuální doučování a jazyková výuka po celé ČR

Při zjišťování průběh funkce se snažíme zjistit co možná nejvíce o chování dané funkce. Zajímají nás takové věci jako je monotonnost, tedy jestli je funkce rostoucí nebo klesající, případně na jakých intervalech je funkce rostoucí či klesající. Dále nás zajímají extrémy funkce — minima a maxima. Průběh funkce je aplikace derivací, bez znalosti derivace ani nečtěte dále.

Monotonnost

Směrnice tečny v bodě, tedy derivace funkce v bodě, nám toho o funkci říká více, než by se zdálo. Jako první si prohlédněte následující obrázek:

Graf funkce f(x)=x² s třemi tečnami

Odstranil jsem osy, ale jinak je to klasický graf funkce f(x)=x², který je obklopený třemi tečnami. Čeho si teď můžeme všimnout — pokud je funkce v daném bodě klesající, pak klesá i tečna v tomto bodě (přesněji klesá funkce, která by danou tečnu popisovala). To je vidět u tečny a. Funkce x² je v tomto bodě klesající a i tečna a je klesající. Naopak tečna b je rostoucí a vidíme, že i funkce x² je v tomto bodě rostoucí. A nakonec pokud máme tečnu rovnoběžnou s osou x, potom máme ve funkci x² globální minimum.

To jsou věci, které jdou na první pohled vidět, ale chce je to ještě upřesnit. Začneme rostoucí a klesající funkcí. Pokud je tečna funkce v bodě rostoucí, pak je i funkce v tomto bodě rostoucí. Kdy je tečna rostoucí? Tečna je rostoucí, pokud úhel, který svírá s osou x je v intervalu (0, 90) stupňů. Tečna je pak klesající, pokud úhel, který svírá s osou x je v intervalu (90, 180) stupňů. Prohlédněte si následující obrázek:

Klesající a rostoucí tečna

Úhel α je určitě menší než 90 stupňů a tečna je rostoucí. Úhel β je větší než 90 stupňů a tečna klesá. To by mělo být jasné. Teď zpět k tangensu. Musíme si zopakovat, jak se počítá tangens. K tomu budeme potřebovat jednotkovou kružnici. Na jednotkovou kružnici nanášíme naše požadované úhly a jednotková kružnice nám podle nějakých pravidel vrací hodnoty goniometrických funkcí. Hodnota tangensu se zobrazuje jako y-ová souřadnice průsečíku ramene úhlu s kolmicí k ose x vedenou v bodě [0, 1]. Obrázek následuje:

Zobrazení tangensu na jednotkové kružnici

Na obrázku máme naneseny dva úhly — alfa a beta. Hodnota tangensu úhlu alfa představuje y-ovou souřadnici bodu F, hodnota tangensu úhlu beta představuje y-ovou souřadnici bodu G. Jak vidíte, tan(α) bude kladné, zatímco tan(β) je záporné. A to je to, co jsme hledali. Jak je vidět z obrázku, je-li úhel v intervalu (0, 90), pak je tangens tohoto úhlu kladný, je-li z intervalu (90, 180), pak je záporný.

Takže rekapitulace: kdy je funkce v bodě rostoucí? Když je tečna v tomto bodě rostoucí. Kdy tečna roste? Když je úhel v intervalu (0, 90) stupňů, tj, když je tangens úhlu kladný. Co je to derivace? Směrnice tečny. Co je směrnice? Tangens úhlu. Kdy funkce v bodě roste? Když je derivace v tomto bodě kladná. Analogicky pro klesající funkci. Ještě jednou celé:

Jestliže f'(q)>0, pak je funkce f(x) v okolí bodu q rostoucí. Jestliže f'(q)<0, pak je funkce f(x) v okolí bodu q klesající.

Příklad: vezmeme si opět na pomoc funkci x². Víme, že derivací této funkce je funkce 2x. Pro všechny body, kdy platí 2x<0 je funkce klesající a pro všechny 2x>0 je funkce rostoucí. Jsou to jednoduché nerovnice, takže nám vyjdou intervaly (-∞, 0) pro klesající a (0, ∞) pro rostoucí.

Extrémy

Rozlišujeme dva základní typy extrémů — globální a lokální. Lokální se definují na nějakém obecném intervalu I, globální jsou definovány na celém definičním oboru funkce. Extrémy mohou být dva, buď minimum, nebo maximum. Lokální maximum na intervalu I bychom mohli nadefinovat takto: nechť je v bodě q maximum funkce f(x). Pak musí existovat okolí δ bodu q, pro které platí:

$\forall x \in \delta:\qquad f(x)\le f(q)$

Pokud bychom chtěli ostré maximum, zaměníme menší nebo rovno za menší než. Pokud bychom chtěli globální maximum, zaměníme okolí δ za definiční obor funkce f(x). Lokální maximum je tedy bod, při kterém nabývá funkce nejvyšší funkční hodnoty v nějakém svém okolí.

V následujícím obrázku je nekonečně mnoho lokálních extrémů. Lokální maxima se nachází na vrcholcích těch vln, lokální minima se pak analogicky nachází dole. Vůbec nevadí, že jsme vždy schopni nalézt maximum, které je výše (má větší funkční hodnotu), protože nám jde o lokální maximum a to můžeme hledat i na menším intervalu.

Graf funkce f(x)=x·sin(x)

Vraťme se k původnímu obrázku:

Graf funkce f(x)=x² s třemi tečnami

V obrázku nám zbývá ještě jedna tečna, se kterou jsme nepracovali — tečna c. Vidíme, že tečna se dotýká grafu v minimu funkce x² a je vodorovná, tedy rovnoběžná s osou x. „Svírá“ tak s osou x úhel 180 stupňů. Co by se stalo, kdybychom funkci obrátili a místo minima měla funkce maximum?

-x² s tečnou ve vrcholu

Z hlediska tečny se nic nezměnilo, stále je vodorovná a „svírá“ s osou x úhel 180 stupňů. Z toho nám vzniká zákonitost: pokud hledáme minimum nebo maximum funkce, hledáme tečnu, která je rovnoběžná s osou x, která má tangens úhlu, který svírá s osou x, rovný nule. Z předchozího obrázku lze vidět, že tan(180°)=0. V kontextu derivací tak hledáme bod, pro který platí, že jeho derivace je rovná nule: f'(x)=0.

Vypočítáme si extrém u naší oblíbené funkce x². Derivace funkce je 2x a nyní řešíme rovnici f'(x)=0, odtud 2x=0. To triviálně platí pro x=0. V bodě x=0 tak má funkce nějaký extrém — samotný fakt, že je tam první derivace nulová nám neříká, jestli je to minimum nebo maximum.

Několik upřesnění: neplatí, že pokud má funkce f v daném bodě q lokální extrém, že f'(q)=0. Toto platí v případě, kdy derivace jako taková v bodě existuje. Pokud v bodě q existuje derivace a v bodě q je lokální extrém, pak je derivace v bodě q nulová. Příkladem extrému, ke kterému neexistuje derivace je zmíněná funkce f(x)=|x|. V bodě x=0 má funkce minimum, ale protože je funkce „do špičky“, neexistuje v tomto bodě tečna, ani derivace a neplatí tak, že f'(0)=0.

Aby toho nebylo málo, tak to neplatí ani opačně. Pokud funkce má v bodě derivaci a ta je rovná nule, nemusí tam nutně ležet extrém funkce. Obecně říkáme, že jsme našli bod „podezřelý z extrému“ nebo stacionární bod. Příkladem budiž funkce f(x)=x³. Derivací této funkce je funkce 3x². Výsledkem rovnice 3x²=0 je dvojnásobný kořen x=0, tedy v bodě x=0 by měl být extrém. Ale jak vidíme, tak není. Přestože derivace existuje a je nulová, přestože jsme našli tečnu rovnoběžnou s osou x, tak jsme nenašli extrém. Prozradím, že se jedná o inflexní bod, viz dále.

Graf funkce x³

Zjištění extrému dle definice

Nyní potřebujeme mechanismus, pomocí něhož zjistíme, jestli je to vůbec extrém a následně jestli je to minimum nebo maximum. Můžeme na to jít pomocí definice daného extrému. Máme funkci x² a víme, že ta má stacionární bod v x=0, protože f'(x²)=2x a odtud 2x=0 když x=0. Hledali jsme na celém definičním oboru, takže tento extrém je globální. Podle definice minima musí platit:

$\forall x \in D(f):\qquad f(x)\ge f(0)$

Pokud má být námi nalezený extrém minimum, tak pokud vezmeme jakékoliv číslo z definičního oboru, vyjma nuly, musí být funkční hodnota tohoto čísla větší než funkční hodnota nuly. Platí, že f(0)=0²=0. Potřebujeme dosadit čísla z obou částí funkce, nalevo i napravo od stacionárního bodu. Dosadíme třeba +2 a -2. Vyjde nám vždy hodnota 4. Protože funkce má pouze jeden extrém a jeho levá i pravá větev obsahuje funkční hodnotu vyšší než je funkční hodnota našeho stacionárního bodu, jedná se o extrém a konkrétně o minimum.

Pokud bychom zkusili testovat maximum, pak musí platit, že všechny ostatní funkční hodnoty jsou menší než f(0). To ovšem nebude platit, jak už víme. Pro +2 a -2 dostáváme kladné funkční hodnoty a daný stacionární bod nemůže být maximum.

Co by se stalo, kdybychom zkusili definici aplikovat na funkci x³? Derivace této funkce je 3x², funkce má jeden stacionární bod v x=0. Opět dosadíme hodnoty +2 a -2. Dostáváme f(-2)=-8 a f(2)=8. Přitom f(0)=0. Vidíme, že jedna hodnota je větší než nula a druhá menší než nula. V tomto bodě nemůže být extrém.

Extrémy můžeme determinovat také podle druhé derivace, ale než se k tomu dostaneme, potřebujeme znát pojem konvexnost a konkávnost.

Konvexnost a konkávnost

Konvexnost a konkávnost funkce představuje jakousi vypoukloust funkce. Na první pohled bývá obvykle zřejmé, jestli je funkce konkávní nebo konvexní. Konvexní funkce vypadá jako „ďolík“, zatímco konkávní jako kopec. Taky se říká, že do konvexní funkce nalijete kafe. Následují tři příklady již známých funkcí.

Graf funkce x². Funkce je konvexní, nalijeme do ni kafe

Graf funkce -x². Funkce je konkávní, nenalijeme do ni kafe

Graf funkce x³. Funkce je konkávní na intervalu (-∞,0) a konvexní na intervalu (0, ∞)

Teď musíme dojít k tomu, jak zjistit, zda je funkce na daném intervalu konvexní nebo konkávní. K tomu budeme potřebovat další obrázek:

Tečny funkce x²

Kvadratická funkce se na celém svém definičním oboru konvexní. Čeho si všimnete, když se podíváte na všechny tečny, které jsem v obrázku znázornil? Pro každou tečnu platí, že všechny body kvadratické funkce jsou nad touto tečnou, s výjimkou toho jediného bodu, kterého se tečna dotýká. Můžeme nakreslit podobný obrázek pro opačnou funkci -x², tam bude situace obrácená a všechny body budou pod tečnou.

Tečny funkce -x²

K dalšímu vysvětlování si vypůjčím obrázek ze skript z VŠB [PDF].

Funkce, která je konvexní na intervalu I

Znázorněná funkce f(x) je jak konvexní, tak konkávní. Budeme si ale hrát s částí, která je konvexní. Víme už, že u konvexní funkce jsou všechny body grafy nad tečnou. To je zde splněno (na intervalu, kde je funkce konvexní). Máme tečnu t a body grafu jsou nad touto tečnou. Nyní jde o to, jak vypočítat, že ty body jsou nad tečnou.

Máme daný bod x₀, přičemž v bodě [x₀, f(x₀)] vedeme tečnu ke grafu. Zvolíme si jiný bod x, který je z nějakého okolí bodu x₀, přičemž to okolí spadá do intervalu I, tj. v daném okolí je funkce konvexní. Pro tento bod (respektive pro všechny body z tohoto okolí) musí platit, že leží nad tečnou t. Známe jak f(x₀), tak f(x), neznáme ale „funkční hodnotu tečny“ v bodě x. Funkční hodnota tečny je hodně hrrr výraz, zkrátka pokud budeme mít funkci t(), která nám popisuje tečnu t, tak neznáme hodnotu t(x). Na obrázku je tato hodnota znázorněna bodem Q — neznáme y-ovou souřadnici tohoto bodu. Pokud je hodnota f(x) větší než tato y-ová souřadnice, pak je funkce konvexní.

Jak je z obrázku hezky vidět, část této hodnoty už spočítáno máme, jde o hodnotu f(x₀). Zbývá nám tak vypočítat vzdálenost úsečky označené jako ?. Pomůžeme si tangensem úhlu, který svírá tečna s osou x. Což je derivace. Obrázek:

Přidáno znázornění úhlu alfa a strany trojúhelníku

Do obrázku jsem přidal označení dalších dvou bodů: A a B. Nyní vzniká trojúhelník ABQ. Délku strany AB vypočteme jako x-x₀. Dále potřebujeme znát úhel alfa. Jak je vidět, máme tam dva souhlasné úhly: velikost úhlu QAB odpovídá velikosti úhlu, který svírá tečna s osou x. Teď už jen aplikujeme tangens, který nám udává poměr protilehlé odvěsny ku přilehlé. Tedy platí:

$\mbox{tan}(\alpha)=\frac{|QB|}{|AB|} \rightarrow |QB|=\mbox{tan}(\alpha)\cdot|AB|$

Za tan(α) můžeme už dosadit derivaci v bodě x₀ a za |AB| zpět rozdíl x:

$|QB|=\mbox{tan}(\alpha)\cdot|AB|=f^\prime(x_0)\cdot|AB|=f^\prime(x_0)\cdot(x-x_0)$

A zbývá už poslední krok, poskládat to celé dohromady. Funkce je v bodě x₀ konvexní, pokud:

$\forall x\in D(f): x\in O(x_0), x\ne x_0\Rightarrow$

$f(x)>f(x_0)+f^\prime(x_0)(x-x_0)$

První řádek je jen hromada podmínek, které musí platit. Musíme brát x pouze z definičního oboru (což je logické) a zároveň musíme brát x z nějakého okolí O(x₀), ale nemůžeme brát samotný bod x₀. Druhý řádek říká to, že funkční hodnota námi vybraného bodu f(x) musí být vyšší, než funkční hodnota funkce popisující tečnu, tedy že bod f(x) leží nad tečnou. Tato podmínka musí být spněna pro všechny body z okolí O(x₀).

Už bez odvození řekneme, že funkce f(x) je v bodě x₀ konvexní, pokud platí f''(x₀)≥0 a konkávní pokud f''(x₀)≤0. Slovně, pokud je druhá derivace v bodě nezáporná, pak je funkce v daném bodě konvexní. Pokud zaměníme ≥ za >, získáme definici ryze konvexní funkce.

Podobně, jako extrém funkce rozděloval klesající část funkce a rostoucí část funkce, inflexní body rozdělují konvexní a konkávnávní části funkce. Takže inflexní bod je bod, kde se funkce mění z konvexní na konkávní nebo naopak. Dříve jsme si říkali, že i když je první derivace v bodě nulová, nemusí tam ještě nutně být extrém. Může tam totiž být inflexní bod.

Co musí platit pro inflexní bod? V daném bodě se mění konvexní funkce na konkávní (nebo naopak), takže v daném bodě musí být funkce konkávní a zároveň konvexní. Nebo nesmí být ryze konvexní ani ryze konkávní. Konvexní nebo konkávní je, pokud f''(x)≥0 nebo f''(x)≤0. Jediný případ, kdy může být funkce v bodě konvexní i konkávní tak je, pokud f''(x)=0. Prozatím budeme předpokládat, že pokud f''(x)=0, pak je v bodě x inflexní bod. Není to ale zcela pravda, později to upřesním.

Extrémy pomocí druhé derivace

Zkusíme naše nově nabyté znalosti použití při hledání extrémů. Už víme, že pokud je první derivace v bodě nulová, pak jsme našli bod, který může být extrémem funkce. Umíme extrém ověřit podle definice a teď si ukážeme, jak ověřit extrém pomocí druhé derivace.

Mezi inflexním bodem a extrémem je jednoduchý vztah — inflexní bod nemůže být zároveň extrémem. Máme-li tak funkci f(x), její derivace f'(x) a víme, že derivace je nulová v bodě x₀, musíme zjistit, jestli je funkce v daném bodě x₀ ryze konvexní či ryze konkávní. Pokud není ani jedno z toho, pak se jedná o inflexní bod.

Pro příklad si vezmeme funkci f(x)=x². První derivace f'(x)=2x, druhá derivace f''(x)=2. První derivace je nulová pro x=0. Nyní tento bod dosadíme do druhé derivace. Druhá derivace je konstantní funkce, dosazení x nám nezmění hodnotu funkční hodnoty (jako byste počítali s funkcí f''(x)=2+0·x). Druhá derivace v bodě x=0 je tak kladná, má hodnotu 2: f''(0)=2. Protože je kladná, funkce je v daném bodě ryze konvexní, protože je v daném bodě ryze konvexní, nejedná se o inflexní bod.

Teď ještě jak určit, zda se jedná o minimum nebo maximum. K tomu nám opět pomůže konvexnost a konkávnost. Konvexní funkce má tvar ďolíku či písmene „U“ — zde byste těžko hledali něco jiného, než nějaké lokální minimum. Obdobně konkávní funkce má tvar kopce, zde byste opět hledali těžko něco jiného než maximum. Odtud můžeme odvodit, že pokud máme nulový bod q (tj. f'(q)=0), pak pokud f''(q)>0, potom je funkce v daném místě ryze konvexní a proto je v bodě q minimum. Pokud je f''(q)<0, pak je funkce v daném místě ryze konkávní a proto je v bodě q maximum.

Stacionární body

Teď se vrátím k tomu, proč nemusí nutně platit, že když je druhá derivace v bodě nulová, pak je tam inflexní bod. Vezměme si příklad f(x)=x⁴. Jednotlivé derivace a graf:

$f(x)=x^4,\quad f^{(1)}=4x^3,\quad f^{(2)}=12x^2,\quad f^{(3)}=24x,\quad f^{(4)}=24$

Graf funkce f(x)=x⁴

Vidíme, že v bodě x=0 má funkce minimum, stejně jako klasická funkce x². Přesto platí, že první derivace je nulová pouze v bodě x=0 a pokud dosadíme x=0 do druhé derivace, získáme zase nulu: 12·0²=0. Podle předchozích vět by tak v tomto bodě měl být inflexní bod, což samozřejmě není. Rozhodují totiž ještě další derivace.

Je to takto: máme funkci f(x) a jejich n derivací:

$f^{(1)}(x_0)=f^{(1)}(x_0)=\ldots=f^{(n-1)}(x_0)=0;\qquad f^{(n)}(x_0)\ne0$

Potom pokud je n sudé, pak se v bodě x₀ nachází lokální (případně globální) extrém, pokud je n liché, nachází se v bodě x₀ inflexní bod. Pokud je n sudé a f⁽ⁿ⁾(x₀)<0, pak se v bodě x₀ nachází maximum, pokud f⁽ⁿ⁾(x₀)>0, pak se v bodě x₀ nachází minimum.

Teď už můžeme dopočítat příklad s x⁴. První nenulová derivace nám vyjde pro n=4. N je tak sudé a proto je v bodě x=0 extrém. Derivace je kladná, větší než nula, takže se tam nachází minimum.