V praxi často narážíme na případ, kdy nepočítáme jednu rovnici, ale hned dvě rovnice zároveň (či ještě více). Nejprve si ukážeme, jak řešit takovouto soustavu rovnic pomocí dosazovací metody.
V dosazovací metodě vyjádříme jednu z neznámých v jedné rovnici a tento výsledek poté vložíme do druhé rovnice:
4x + 2y = 6 5x − 3y = 13
Toto je jednoduchá soustava dvou rovnic o dvou neznámých. Naším úkolem je vyjádřit proměnné x a y tak, aby obě rovnice měly smysl. Z první rovnice osamostatníme y:
2y = 6 − 4x y = 3 − 2x
Tento výsledek dosadíme do druhé rovnice namísto y a spočítáme:
5x − 3y = 13 5x − 3 · (3 − 2x) = 13 5x − 9 + 6x = 13 11x = 22 x = 2
V tuto chvíli již máme vypočítánou hodnotu x a zbývá nám hodnota y. Tu zjistíme dosazením hodnoty x do jakéhokoliv z rovnic. Vybereme si třeba tu první:
4x + 2y = 6 4 · 2 + 2y = 6 8 + 2y = 6 2y = −2 y = −1
A soustava je vyřešená. x = 2, y = −1. Pokud si tyto čísla dosadíte do prvních dvou rovnic, rovnice vám budou dávat smysl, budou sedět:
4x + 2y = 6 4·2 + 2·(−1) = 6 8 − 2 = 6 6 = 6 5x − 3y = 13 5·2 − 3·(−1) = 13 10 + 3 = 10 13 = 13
Vidíme, že dosazovací metoda opravdu funguje.
Tuhle metodu mám radši, ale samozřejmě záleží na konkrétním příkladu. Ne vždy se hodí. Princip sčítací metody spočívá v tom, že upravíte rovnice tak, aby po sečtení rovnic zmizela jedna z proměnných. Zkusíme si schválně vypočítat předchozí příklad pomocí sčítací metody:
4x + 2y = 6 5x − 3y = 13
Budeme se snažit nechat zmizet y, takže první rovnici vynásobíme třemi a druhou rovnici dvěmi. Dostáváme toto:
12x + 6y = 18 10x − 6y = 26
Teď rovnice prostě sečteme:
12x + 10x + 6y − 6y = 18 + 26 22x + 0y = 44 x = 2
Vidíme, že jsme se elegantně zbavili y a mohli v klidu vypočíst hodnotu x. Vyšla stejně jako v předchozím případu u dosazovací metody. Druhou proměnnou spočítáme stejně jako v předchozím případě, prostě ji dosadíme do některé z rovnic.
První příklad:
Vypočítejte následující soustavu dvou rovnic o dvou neznámých:
7x + 3y = 21 14x + 9y = 0
V tomto případě zcela jednoznačně vítězí sčítací metoda, protože 7x je akorát dvakrát menší než 14x, takže stačí vynásobit první rovnici minus dvojkou, sečíst a vypočítat:
7x + 3y = 21 /·(−2) 14x + 9y = 0 /druhá rovnice zůstane nezměněná ------------------------- −14x −6y = −42 14x + 9y = 0 ------------------------- 0x + 3y = −42 y = −14
Tento výsledek vložíme do druhé rovnice a dostáváme:
14x + 9y = 0 14x + 9·(−14) = 0 14x −126 = 0 14x = 126 x = 9
Můžete si zkusit vypočítat ještě zkoušku, vyjde :-).
Druhý příklad:
Vypočítejte následující soustavu dvou rovnic o dvou neznámých:
(x + 4)(y − 2) = (x − 2)(y + 13) (x − 1)(y − 3) = (x + 2)(y − 5)
Ze všeho nejdříve musíme roznásobit závorky, bez toho se nikam moc nedostaneme.
(x + 4)(y − 2) = (x − 2)(y + 13) (x − 1)(y − 3) = (x + 2)(y − 5) ------------------------------ xy − 2x + 4y − 8 = xy + 13x − 2y − 26 xy − 3x − y + 3 = xy − 5x + 2y − 10
Teď upravíme rovnice do použitelnější podoby, proměnné převedeme na levou stranu rovnice a absolutní členy na pravou.
−15x + 6y = −18 2x − 3y = −13
Nyní už jsme z těch nehezky vypadajících rovnic dostali docela použitelnou soustavu rovnic a můžeme uplatnit některý z klasických postupů. Můžeme třeba druhou rovnici vynásobit dvěmi a sečíst s první rovnicí:
−15x + 6y = −18 2x − 3y = −13 /·2 ------------------ −15x + 6y = −18 4x − 6y = −26 ------------------ −11x + 0y = −44 x = 4
Tenhle výsledek dosadíme do některé z rovnic a vypočítáme y:
2x − 3y = −13 8 − 3y = −13 3y = −21 y = 7
