Spojitost funkce

Spojitost je kupodivu docela jednoduše definovatelná a snadno se chápe, pokud jste plně pochopili limity. Takže definice spojitosti funkce:

Funkce f(x) se nazývá spojitá v bodě a z definičního oboru funkce, jestliže platí:

Můžeme ještě nadefinovat spojitost zleva a zprava, pokud za limitu dosadíme limitu zleva či zprava. Všimněte si:

• Definujeme spojitost v bodě, nedefinujeme spojitost funkce jako celek. Funkce je celá spojitá, pokud je spojitá v každém svém bodě.
• Bod a musí být hromadným bodem.
• Existuje f(x) (bereme x z definičního oboru funkce f(x)), existuje a obojí se rovná.
• Funkce spojitá v bodě je v něm spojitá zleva i zprava. Funkce, podobně jako tomu bylo u limit, může být v bodě spojitá jen zleva nebo zprava.

Co nám definice říká? Za prvé musí platit, že je funkce v daném bodě definovaná. Pokud funkce není v daném bodě definovaná, není jistě v tomto bodě ani spojitá. Pokud je definovaná, koukneme na limity. Pokud se funkce zprava i zleva blíží k funkční hodnotě v daném bodě, pak je funkce v daném bodu spojitá. Pokud jsou limity různé od funkční hodnoty, pak je funkce v daném bodě nespojitá.

Jednoduchý příklad: v článku limita funkce jsme měli ukázánou funkci f(x)=x/3. Jednoduchá lineární funkce. Pro kterýkoliv bod a platí, že

Na bodech nespojitosti si ukážeme, kdy funkce není spojitá v bodě.

Bodem odstranitelné nespojitosti nazýváme bod, pro který existují obě jednostranné limity, tyto limity se rovnají, tj. funkce má v daném bodě limitu, ale tato limita je různá od funkční hodnoty nebo funkce není v tomto bodě definována.

Jako příklad si ukážeme funkci absolutní hodnotu ze signum x. Chceme vědět, zda je funkce spojitá v bodě nula. Graf následuje:

Graf funkce |sgn(x)|

Vidíme, že funkce je skoro celá spojitá, pouze v bodě nula je mezera, protože funkční hodnota je zde rovna nule, nikoli jedničce. Tato nespojitost se jmenuje odstranitelná, protože jednoduchým předefinováním toho jediného bodu získáme spojitou funkci. Tento bod nespojitosti je tak snadno odstranitelný.

Ještě si nespojitost dokážeme pomocí definice. Již víme, že limita funkce v bodě nula je jedna. Přitom funkční hodnota v nule je rovná nule. Takže platí, že limita zleva se rovná limitě zprava, ale to je různé od funkční hodnoty. Jedná se tak o odstranitelnou nespojitost, jak říká definice.

Bodem nespojitosti prvního druhu nazýváme bod, ve kterém existují obě jednostranné limity, ty jsou navíc vlastní (konečné), ale nerovnají se. Zde definujeme termín skok funkce v bodě.

Tento bod nespojitosti si ilustrujeme na grafu funkce sgn(x), bez absolutní hodnoty.

Graf funkce sgn(x)

Zjištujeme, zda je funkce spojitá v bodě nula. Opět víme, že limita funkce pro x blížící se k nule zleva je minus jedna a pro x blížící se zprava je limita jedna. Platí, že limita zleva se nerovná limitě zprava a zároveň jsou obě limity konečné. V bodě nula tak nacházíme nespojitost prvního druhu. Skok funkce je pak rozdíl limity zprava a zleva. V našem případě je skok rovný dvěma. Skok γ funkce f(x) v bodě a tedy zapíšeme takto:

Pokud někde máme nespojitost prvního druhu, pak to znamená, že funkce běží, běží, pořád hezky spojitě a pak najednou v bodě nespojitosti udělá skok nahoru nebo dolů a pokračuje dále. Nedělá žádné horizontální mezery. Pokud byste části grafu posunuli nahoru nebo dolů, dostali byste spojitou funkci.

Bodem nespojitosti druhého druhu nazýváme bod, který má alespoň jednu nevlastní (nekonečnou) jednostrannou limitu nebo pokud alespoň jedna limita neexistuje.

Pro příklad si ukážeme funkci f(x)=1/x. Bod nespojitosti se nachází v bodě nula:

Graf funkce 1/x

Limita zleva v bodě nula je minus nekonečno a limita zprava v bodě nula je plus nekonečno. Obě limity jsou nevlastní, takže se jedná o bod nespojitosti druhého druhu. Tato nespojitost se nedá odstranit žádným jednoduchým způsobem.

Pokud máme funkce f(x) a g(x) a obě jsou spojité v bodě a, potom platí, že jsou spojité i tyto funkce:

Pokud g(a)=b a f(x) je spojitá v bodě b, pak i složená funkce f(g(x)) je spojitá v bodě a.

Už máme definovanou spojitost v bodě, ale nemáme definovanou spojitost na nějakém intervalu. Tak tedy: funkce je spojitá na intervalu I, pokud je spojitá v každém bodě z tohoto intervalu. Důležité je pečlivě rozlišovat otevřený a uzavřený interval. Pokud máme oboustranně otevřený interval, nemusí být funkce spojitá v krajních bodech — už z toho principu, že otevřený interval žádný krajní bod mít nemusí. Pokud ovšem máme uzavřený interval, musí být funkce v těchto krajních bodech zleva či zprava spojitá.

Už jsme dlouho nikde neměli funkci signum. Tak tedy mějme funkci signum. Na otevřeném intervalu (0, ∞) je funkce spojitá. Funkce signum má sice bod nespojitosti v nule, ale díky otevřenosti intervalu je nula z testování vyjmutá. Na intervalu <0, ∞) už funkce spojitá není, protože není zprava spojitá v bodě 0.

A proč není zprava spojitá? Protože limita zprava je rovná jedné, ale funkční hodnota je rovná nule. Hodnoty se nerovnají, takže funkce není v daném bodě zprava spojitá.

Funkci nazveme po částech spojitou, pokud obsahuje konečný počet bodů nespojitosti prvního druhu (nebo odstranitelnou nespojitost). Pokud tedy obsahuje nekonečně mnoho bodů nespojitosti, není po částech spojitá, na to pozor.

Spojitost funkce v praxi zjišťujeme pomocí derivace funkce. Funkce, která je v bodě derivovatelná, je také v daném bodě spojitá.