Spojitost funkce

Spojitost funkce nám, jak už intuice napovídá, říká, zda je funkce v daném bodě spojitá nebo jestli je nějak roztržená. Spojitost definujeme a počítáme pomocí limit funkcí, pokud je neovládáte, nebude se chytat.

Definice spojitosti funkce

Spojitost je kupodivu docela jednoduše definovatelná a snadno se chápe, pokud jste plně pochopili limity. Takže definice spojitosti funkce:

Funkce f(x) se nazývá spojitá v bodě a z definičního oboru funkce f, jestliže platí:

$$ \lim_{x\rightarrow a} f(x) = f(a) $$

Můžeme ještě nadefinovat spojitost zleva a zprava, pokud za limitu dosadíme limitu zleva či zprava. Všimněte si:

• Nadefinovali jsme zatím jen definici spojitosti funkce f v bodě. Pokud je funkce f spojitá pro všechny body svého definičního oboru, pak můžeme o funkci f říci, že je to spojitá funkce na celém definičním oboru.
• Bod a v definici spojitosti musí být hromadným bodem.
• Aby byla funkce v bodě a spojitá, musí existovat f(a) (hodnota a musí být z definičního oboru funkce), musí existovat limita $\lim_{x\rightarrow a} f(x)$ a obojí se rovná stejné hodnotě.
• Funkce spojitá v bodě je v něm spojitá zleva i zprava. Funkce, podobně jako tomu bylo u limit, může být v bodě spojitá jen zleva nebo zprava. Pokud se liší limita zleva a zprava, funke není v tomto bodě spojitá.

Co nám definice říká? Za prvé musí platit, že je funkce v daném bodě definovaná. Pokud funkce není v daném bodě definovaná, není jistě v tomto bodě ani spojitá. Pokud je definovaná, koukneme na limity. Pokud se funkce zprava i zleva blíží k funkční hodnotě v daném bodě, pak je funkce v daném bodu spojitá. Pokud jsou limity různé od funkční hodnoty, pak je funkce v daném bodě nespojitá.

Jednoduchý příklad: v článku limita funkce jsme měli ukázánou funkci $f(x)=\frac{x}{3}$, je to jednoduchá lineární funkce. Pro kterýkoliv bod a∈ ℝ platí, že

$$ \lim_{x\rightarrow a} f(x) = f(a). $$

Funkce f je tak spojitá na celém svém definičním oboru. Například pokud bychom za a dosadili číslo 6, pak bychom měli:

\begin{eqnarray} f(6) &=& 2\\ \lim_{x\rightarrow 6} \frac{x}{3} &=& 2\\ \end{eqnarray}

Body nespojitosti

Pokud funkce není v bodě a spojitá, znamená to, že je v tomto bodě nespojitá. To není velké překvapení. Nicméně rozlišujeme několi druhů bodů nespojitosti a to v závislosti na tom, jak moc bychom museli „upravit graf funkce“, aby byla funkce spojitá.

Máme tři základní druhy nespojitosti:

Bod odstranitelné nespojitosti

Bodem odstranitelné nespojitosti nazýváme bod, pro který existují obě jednostranné limity, tyto limity se rovnají, tj. funkce má v daném bodě limitu, ale tato limita je různá od funkční hodnoty nebo funkce není v tomto bodě definována. Pokud je a bod odstranitelné nespojitosti funkce f(x), pak platí, že:

$$ \lim_{x\rightarrow a^+} f(x) = \lim_{x\rightarrow a^-} f(x), \quad \mbox{ ale }\quad \lim_{x\rightarrow a^+} f(x) \ne f(a) \ne \lim_{x\rightarrow a^-} f(x) $$

Jako příklad si ukážeme funkci absolutní hodnotu ze signum x. Chceme vědět, zda je funkce spojitá v bodě a = 0. Graf následuje:

Vidíme, že funkce je skoro celá spojitá, pouze v bodě nula je mezera, protože funkční hodnota je zde rovna nule, nikoli jedničce. Přitom limity zleva i zprava jsou v tomto bodě rovny jedné. Tato nespojitost se jmenuje odstranitelná, protože jednoduchým předefinováním toho jediného bodu získáme spojitou funkci. Tento bod nespojitosti je tak snadno odstranitelný.

Bod nespojitosti prvního druhu

Bodem nespojitosti prvního druhu nazýváme bod a, ve kterém existují obě jednostranné limity, ty jsou navíc vlastní (konečné), ale nerovnají se. Definice:

$$ \lim_{x\rightarrow a^+} f(x) \ne \lim_{x\rightarrow a^-} f(x) $$

Tento bod nespojitosti si ukážeme na prosté funkci f(x) = sgn(x):

Opět vidíme, že v bodě a = 0 je funkce nespojitá. Přitom platí, že limita zleva je rovna −1 a limita zprava je rovna 1:

\begin{eqnarray} \lim_{x\rightarrow0^-} \mbox{sgn}(x) &=& -1\\ \lim_{x\rightarrow0^+} \mbox{sgn}(x) &=& 1\\ \end{eqnarray}

Limity zleva a zprava se nerovnají, ale jsou vlastní (konečné). Jedná se tak o bod nespojitosti prvního druhu.

Pro tento bod nespojitosti definujeme ještě pojem skok funkce v bodě. Jedná se o rozdíl těchto limit, takže skokem s funkce f v bodě a je hodnota:

$$ s = \lim_{x\rightarrow0^+} f(x) - \lim_{x\rightarrow0^-} f(x) $$

Bod nespojitosti druhého druhu

Bodem nespojitosti druhého druhu nazýváme bod, který má alespoň jednu nevlastní (nekonečnou) jednostrannou limitu nebo pokud alespoň jedna limita neexistuje. Pro příklad si ukážeme funkci $f(x)=\frac{1}{x}$. Bod nespojitosti se nachází v bodě nula:

Limita zleva v bodě nula je minus nekonečno a limita zprava v bodě nula je plus nekonečno. Obě limity jsou nevlastní, takže se jedná o bod nespojitosti druhého druhu. Tato nespojitost se nedá odstranit žádným jednoduchým způsobem.

Spojitost na intervalu

Už máme definovanou spojitost v bodě, ale nemáme definovanou spojitost na nějakém intervalu. Tak tedy: funkce je spojitá na intervalu I, pokud je spojitá v každém bodě z tohoto intervalu. Důležité je pečlivě rozlišovat otevřený a uzavřený interval. Pokud máme oboustranně otevřený interval, nemusí být funkce spojitá v krajních bodech — už z toho principu, že otevřený interval žádný krajní bod mít nemusí. Pokud ovšem máme uzavřený interval, musí být funkce v těchto krajních bodech zleva či zprava spojitá.

Už jsme dlouho nikde neměli funkci signum. Tak tedy mějme funkci signum. Na otevřeném intervalu (0, ∞) je funkce spojitá. Funkce signum má sice bod nespojitosti v nule, ale díky otevřenosti intervalu je nula z testování vyjmutá. Na intervalu <0, ∞) už funkce spojitá není, protože není zprava spojitá v bodě 0.

A proč není zprava spojitá? Protože limita zprava je rovná jedné, ale funkční hodnota je rovná nule. Hodnoty se nerovnají, takže funkce není v daném bodě zprava spojitá.

Funkci nazveme po částech spojitou, pokud obsahuje konečný počet bodů nespojitosti prvního druhu (nebo odstranitelnou nespojitost). Pokud tedy obsahuje nekonečně mnoho bodů nespojitosti, není po částech spojitá, na to pozor.

Spojitost funkce v praxi zjišťujeme pomocí derivace funkce. Funkce, která je v bodě derivovatelná, je také v daném bodě spojitá.