Variace se používají v případě, kdy máte daný určitý počet prvků a máte za úkol spočítat kolik různých k-tic z nich dokážete vytvořit, přičemž ani jeden prvek se nesmí opakovat a záleží na pořadí prvků.
Zní to trochu divoce, proto radši vše objasním na příkladu: Představte si, že jste ve vesnici, ve které se nachází celkem pět hospod – „U Toníka“, Pod kaštany“, „Za humny“, „Na Staré kovárně“ a „Space“. Vy chcete tento večer navštívit celkem tři hospody a protože ani jednu z nabízených neznáte, je vám jedno, které navštívíte. Ovšem důležité je pořadí, nemůžete jít do třech hospod zároveň.
Otázka nyní zní: kolik máte celkem možností, jak svou opileckou pouť uskutečnit? Můžete jít nejprve k Toníkovi, poté Pod Kaštany a nakonec Za humny. Nebo můžete jít zcela obráceně. Počet těchto možností nám právě spočítají variace.
Máme celkem pět možností výběru a chceme učinit celkem tři návštěvy, to nám dává tříčlennou variaci z pěti prvků. Nyní přichází na řadu vzorec pro výpočet variace:
Za n dosadíme počet celkových výskytů – v našem příkladě počet všech hospůdek. Za k dosadíme počet restauračních zařízení, které chceme navštívit. Poté již pomocí jednoduchého faktoriálu zjistíme počet možných variací.
Výpočtem jsme zjistili, že si můžeme vybrat celkem šedesát možných variací, do jakých hospod a v jakém pořadí půjdeme. Pokud bychom chtěli zjistit pouze ony tři hospody, bez toho, aniž by nám záleželo na pořadí, použili bychom kombinace.
Deset závodníků se zúčastnilo klání v pojídání švestkových knedlíků. Za největšího favorita byl považován Ludva Schnitzell, ovšem ke zklamání všech se s padesáti snězenými knedlíky nedostal ani do první pětky a odjel s brekem domů. Na bednu se stejně jako jinde dostanou první tři soutěžící, ovšem není jisté, kdo tam nakonec skončí, když Ludva již vypadl. Spočítejte, kolik existuje možných variací, tedy jak se mohou soutěžící prostřídat na medailových pozicích.
Stejně jako minule, i v tomto příkladě záleží na pořadí, tudíž budeme používat variace. Celkově bylo deset účastníků, ale my víme, že Ludvovi došlo místo v žaludku a předčasně odjel. Takže celkem už zbývá pouze devět soutěžících. Na medaili dosáhnou jen tři soutěžící, což znamená, že vybíráme tříčlennou variaci z devíti prvků. Zapíšeme takto:
Nyní příklad mírně modifukujeme. Minulý ročník totiž samozřejmě nevyhrál nikdo jiný než Ludva Schnitzell s náskokem více než dvaceti knedlíků. Opět spočítejte počet variací na medailových místech.
Je důležité si uvědomit, že v tuto chvíli se mohou měnit pouze dvě místa, nikoliv tři, jako v předchozím příkladě. Důvodem je Ludvovo vítězství – víme, že Ludva skončil první, tudíž logicky nikdo další již skončit první nemohl. Vítězové se tedy mohou střídat pouze na druhé a třetí pozici. Zbylých účastníků je opět devět a vychází nám dvoučlenná variace z devíti:
Před deseti lety, kdy se Ludva poprvé účastnil soutěže v jezení knedlíků, se umístil na předních medailových místech, avšak není již známo, na kterém místě se umístil konkrétně. Opět spočítejte počet možných variací na prvních třech místech.
Tento příklad se od předchozího liší v tom, že nevíme, na kterém místě se Ludva umístil. Můžeme sice předpokládat, že vyhrál stejně jako další rok, pro který již existují archivní záběry a záznamy, nicméně náš předpoklad by nemusel být správný, Ludva se mohl umístit i druhý či třetí. Proto tedy musíme spočítat celkově tři různé variace: v případě, kdy Ludva vyhrál, poté kdyby Ludva dosáhl stříbrné medaile a nakonec bronzové medaile. Ovšem pokaždé zbývají pouze dvě místa, kde se může umístit někdo jiný. Pokud byl například Ludva druhý, ostatní účastníci se mohli umístit buď na prvním anebo na třetím místě. Tedy počítáme opět dvoučlennou variaci z devíti, pouze ji musíme spočítat třikrát, pro tři různé umístění Ludvy. Zapíšeme to takto: 3 × V(2, 9). Protože V(2, 9) již známe (viz předchozí příklad), stačí pouze vynásobit třemi sedmdesátdvojku, výsledek je 216.
U normálních variací jsme předpokládali, že se žádná položka nemůže opakovat – Ludva prostě nemůže skončit zároveň první i druhý. Ovšem když přeci jen potřebujeme spočítat variace s tím, že se jejich jednotlivé prvky mohou libovolně opakovat, musím použí jiný vzorec, než výše uvedený. Navíc tím, že se prvky mohou opakovat, můžeme vytvořit například variace trojice čísel pouze ze dvou prvků, což při normálních variacích nebylo možné. Pokud chceme sestavit všechna trojciferná čísla jen za použití dvou čísel, standardní vzorec pro variace již použít nemůžeme, neboť se snažíme vytvořit trojici čísel pouze ze dvou číslic. V tuto chvíli nám dobře poslouží následující vzorec (variace s opakováním se značí podobně jako normální variace, akorát s čárkou):
V'(k, n) = nk
Chceme-li tedy vypočítat předchozí příklad tříciferného čísla za pomocí dvou číslic (jedno kterých), aplikujeme tento vzorec následujícícm způsobem: V'(3, 2) = 23 = 8. V konkrétních číslech bychom si to představili takto: (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2).
Další příklad: Představte si, že jste sami se svým partnerem někde daleko od civilizace, na samotě u lesa a chcete se krásně pomilovat. Ale co by to byla za vášnivá noc, kdybyste se milovali pouze jednou. Víte, že vydržíte celkem šest čísel za noc, ale protože ještě nejste příliš zkušení, znáte pouze tři různé milostné polohy (klasickou, „na koníčka“ a polohu „vody a mléka“). Kolik existuje různých možností, jak se vydovádět, jestliže během jednoho milování nikdy neměníte polohu, se kterou jste začali?
Opět pouze aplikujeme jednoduchý vzorec a vyjde nám jistě potěšující výsledek. Celkový počet poloh (tedy n) jsou tři a celkový počet milostných aktů (k) je šest: V'(6, 3) = 36 = 729. Zamilovaný pár si může vybrat z celkem 729 různých variací, jakými polohami stráví tento jedinečný večer. Můžete-li strávit noc podobně, doporučuji využít možnosti :-).
Permutace není nic jiného, než variace, kde k = n, to je všechno. Příklad: Spočítejte, jak se mohou prostřídat čtyři závodníci v první lajně, která je obsazena čtyřmi auty. Pokud bychom neznali permutace, postupovali bychom takto:
Existuje tedy 24 variací. Předchozí postup nám ovšem objasnil vzorec pro počítání s permutacemi – protože se k = n, jmenovatel vždy vyjde jedna a tudíž výsledek bude vždy n!. Permutaci proto můžeme zapsat takto: P(n) = n!.
Související téma na tomto webu: bezpečnost hesla.
