Vektory

Než přejdeme k vektorům, budeme muset nejdříve trochu probrat souřadnicový systém, což je prostředí, kde se vektory obvykle zobrazují. Zvolíme počátek souřadnicového systému a ten označíme souřadnicí 0. Tímto bodem budeme dále vést přímky – osy souřadnic. Osa bývá buď jedna (jedna se pak o jednorozměrnou přímku), ale obvykle bývají dvě (pak jde o rovinu) nebo tři (prostor). Tyto osy jsou na sebe kolmé. V rovině se vodorovná osa značí x a vertikální y. V prostoru se třetí osa označuje z. Nakonec zvolíme jednotky na osách.

Právě jsme vytvořili kartézskou soustavu souřadnic. Proč kartézskou? Je to podle kartézského součinu. Kartézský součin se obvykle definuje pomocí množin. Máme-li dvě množiny, kartézským součinem dostaneme množinu uspořádaných dvojic, které získáme, když každý prvek z jedné množiny dáme do uspořádané dvojice s každým prvkem z druhé množiny. Zkusím ukázat na příkladu.

Máme tyto dvě množiny: A = {1, 2} a B = {3, 4}. Kartézským součinem těchto dvou množin dostaneme:

Zkrátka vezmete jeden prvek z jedné množiny a vrazíte ho na začátek uspořádané dvojice. K němu dáte první prvek z druhé množiny. Pak druhý prvek z druhé množiny a tak dokola, až tam dáte všechny. Pak si vezmete druhý prvek s první množiny a postupně k němu zase dáváte všechny prvky z druhé množiny.

V praxi pak jsou výsledkem kartézského součinu všechny souřadnice, které můžete v rovině sestrojit. Třeba [54, 87]. První souřadnice je brána z osy x (první množina) a druhá souřadnice z osy y (druhá množina). Je to jedna z mnoha uspořádaných dvojic po kartézském součinu prvků na ose x s prvkami na ose y.

K samotné definici vektoru ještě budeme potřebovat pojem orientovaná úsečka, což je úsečka, která má určený počáteční a koncový bod. Není na tom nic nepochopitelného. Vektorem potom nazýváme množinu všech souhlasně orientovaných úseček stejné délky. Vektor se obyčejně značí šipkou, asi nějak takto:

Vektor

Matematicky se obvykle vektor zapisuje pomoci nějakého písmene (nejčastěji u nebo v) a nad tím se kreslí šipka.

Nyní si znova přečtěte předchozí definici vektoru. Zjistíte, že vektor nikdy není jeden, vektor je už sám o sobě množina. Vezmete-li náš předchozí vektor u a jen ho posunete o kousek doleva, doprava, nahoru či dolů, bude to stále jeden a tentýž vektor. Všechny vektory na následujícím obrázku jsou stejné:

Více stejných vektorů

Velikost vektoru je poměrně jednoduchá, rovná se délce úsečky, tvořící vektor. |u| = |AB|. Nulový vektor 0 je každý vektor, který má velikost nula.

Kolineární vektory jsou takové různé vektory, které jsou rovnoběžné. Jediný rozdíl mezi těmito vektory je, že mají jinou velikost (pokud by měly kolineární vektory stejnou velikost, byl by to jeden a tentýž vektor). Ukázka kolineárních vektorů je na následujícím obrázku:

Kolineární vektory

Vzhledem k tomu, že jeden vektor lze vyjádřit nekonečně mnoha zobrazeními, se před samotným určením souřadnic přesouvá vektor tak, aby vycházel z počátku. Jakoukoliv z výše zobrazených šipek můžete přesunout tak, že bude mít počátek na souřadnicích [0, 0] a bude to stále jeden a tentýž vektor. Šipka potom směřuje do roviny a připomíná hodinovou ručičku :-). Výhoda tohoto postupu je, že odpadá nutnost psát jednu souřadnici šipky, protože ta je vždy [0, 0]. Zapisuje se vždy pouze ta druhá souřadnice — souřadnice bodu, kde šipka končí. Předcházející skupinu vektorů lze zobrazit i tímto vektorem, jeho souřadnice budou u = (1, 1).

Vektor

Teď matematický způsob určení souřadnic vektoru. Vycházíme z toho, že známe souřadnice bodů A, B, které určují vektor u. Mějme tedy vektor u, určený body A [1, 2] a B [5, 4]. Vektor by vypadal takto (slaběji nakreslený vektor představuje vektor přesunutý na počátek souřadnicového systému — tento vektor hledáme):

Vektor posunutý do počátku

Když se kouknete na obrázek, zjistíte, že jsme tu orientovanou úsečku posunuli o jednu jednotku doleva. Přesně o tu vzdálenost, která je mezi bodem A a osou y, což je právě x-ová souřadnice bodu A. Tedy od x-ové souřadnice bodu B odečteme x-ovou souřadnici bodu A a získáme novou x-ovou souřadnici námi hledaného vektoru (získáme x-ovou souřadnici bodu D). Totéž provedeme s y-ovou souřadnicí. Vektor u tudíž bude mít souřadnice u = (5 − 1, 4 − 2) = (4, 2).

Obecný vzorec pro určení souřadnic vektoru v rovině by zněl takto. Máme vektor u, který je tvořen body AB, které mají souřadnice A[x1, y1], B[x2, y2]. Pak souřadnice vektoru u získáme takto:

Když už známe souřadnice vektorů, můžeme snadno vypočíst jejich velikost. Podle Pythagorovy věty docela snadno odvodíme, že velikost vektoru o souřadnicích (u₁, u₂) v rovině je

Na následujícím obrázku jasně vidíme, že souřadnice vektoru se shodují s délkami stran námi vytvořeného trojúhelníka a že po aplikování Pythagorovy věty opravdu lehce spočteme velikost vektoru.

Velikost vektoru

Máme-li vektor u = (2, 4), jeho velikost bude

A nyní následují dva příklady na procvičení probírané látky.

Určete souřadnice vektoru u zadaného body A[3, 7], B[−1, 0].

Zde je postup naprosto jednoduchý a přímočarý. u = (u₁, u₂).

Vektor má tedy souřadnice u = (−4, −7)

Vektor u má takovéto souřadnice: (2, 3) a je tvořen body A[6, 6] a B[x₁, y₁]. Zjistěte souřadnice bodu B.

Postavíme si opět naši starou známou rovnici a z ní jen osamostatníme neznámou:

Druhou souřadnici zjistíme identickým postupem:

Bod B má souřadnice [8, 9].