Operace s vektory

Chceme-li sečíst dva vektory, zobrazíme je do počátku souřadnicového systému a následně doplníme na čtyřúhelník a uhlopříčka začínající v počátku bude výsledný vektor. Samozřejmě je připraven ilustrativní obrázek:

Součet dvou vektorů u+v

Analyticky je pak součet vektorů součet příslušných souřadnic. Takže pokud máte dva vektory u = (u₁, u₂) a v = (v₁, v₂), pak součet u+v je roven

Pro ty vektory na obrázku platí: u = (2, 4) a v = (4, 1). Součet pak vypadá takto: u+v = (2+4, 4+1) = (6, 5). Tyto souřadnice odpovídají bodu D.

Pokud odečítáte vektory, je to stejné, jako byste přičítali opačný vektor. Analyticky:

Pokud sčítáme vektory, které leží na jedné přímce a ve stejném směru, pak jen natáhneme výsledný vektor. Pokud mají opačný směr, pak odečteme jejich velikost. Z obrázku to bude lépe vidět:

Součet vektorů ležící na stejné přímce

Sčítání vektorů je komutativní a asociativní. Existuje vektor 0, který nazýváme nulový vektor, pro který platí u+0 = u, podobně jako u čísel. Ke každému vektoru u existuje opačný vektor −u, pro který platí u+(−u) = 0.

Pokud vynásobíte vektor reálným číslem k, pak jen vynásobíte číslem k obě jeho souřadnice. V geometrické interpretaci se to projeví „natažením“ nebo „zmenšením“ vektoru, případně převrácením, pokud je k záporné.

Různé násobky vektoru u

Podle obrázku je vidět, že když násobíme vektor u číslem k, tak:

• Pokud je absolutní hodnota k menší než jedna, pak je vektor menší.
• Pokud je absolutní hodnota k větší než jedna, pak je vektor větší.
• Pokud je k záporné, pak má vektor opačný směr.

V lineární algebře často používáme lineární kombinace vektorů. Pokud máme vektory u₁, u₂, u₃, …, pak lineární kombinace těchto vektorů je

• k násobek jednoho z vektorů u_n,
• součet libovolných dvou či více vektorů,
• kombinace předchozího — můžeme sečíst k_n násobky libovolných u_n vektorů.

Máme-li vektory u₁, u₂, …, u_n, pak vektor v je lineární kombinací vektorů u_n, pokud platí:

Všimněte si, že koeficienty c_i jsou reálná čísla, můžeme tak za ně zvolit nulu, čímž nám jeden z vektorů zcela vypadne. Příklad: máme vektory u₁ = (1, 3), u₂ = (0, 4), u₃ = (7, 2). Toto jsou některé možné lineární kombinace: