Výroková (matematická) logika je vyjadřovací prostředek matematiky, s nímž se můžeme setkat v různé terminologii a ve všemožných matematických schématech.
Základem výrokové logiky je pochopitelně výrok. Výrokem je každá oznamovací věta, u které můžeme určit její pravdivostní hodnotu. Příklady jednoduchých výroků:
Toto všechno jsou výroky. Ať už jsou pravdivé (první dva) nebo jsou nepravdivé (poslední dva). Výrokem není například tázací věta nebo věta, u které nemůžeme jednoznačně určit její pravdivostní hodnotu. Opět příklad:
První věta nemůže být výrok, protože je to tázací věta, u druhé věty zase neurčíme, jestli je to pravdivý výrok nebo nepravdivý. Taková věta se pak nazývá hypotéza (domněnka).
Tyto jednoduché výroky můžeme dále znegovat, tzn. obrátit pravdivostní hodnotu. Například negace prvních čtyř výroků napsaných výše by vypadaly takto:
Jednoduché výroky se označují velkými písmeny A, B atd. Z těchto jednoduchých výroků pak můžeme pomoci logických spojek (symbolů) vytvořit složený výrok. Známe čtyři základní logické spojky:
B je konjunkce
výroků, čteme „výrok A a (zároveň)
výrok B“
B je disjunkce výroků,
čteme „výrok A nebo výrok B“
B je implikace,
čteme „jestliže výrok A, pak
výrok B“
B
je ekvivalence, čteme „výrok A právě tehdy když
výrok B“Konkrétní příklady:
Stejně jako můžeme určit pravdivostní hodnotu u jednoduchých výroků,
můžeme to samé zjistit u složených výroků. Začněme tím
nejjednodušším – konjunkcí. Už ze samotné slovní spojky „a (zároveň)“ musí být jasné, že jestliže má
být celý výrok A B
pravdivý, musí být pravdivé oba výroky A i B.
Podívejte se na tuto větu – „Vyhodíme Hornovou a zrušíme BigBrothera“ – je z ní jasně cítit, že celá věta bude pravdivá, pokud oba dílčí výroky – „Vyhodíme Hornovou“ – a – „zrušíme BigBrothera“ – budou pravdivé. Pokud by byl pravdivý pouze jeden výrok, například Lenka Hornová by byla vyhozena, ale BigBrother by nebyl zrušen, celý složený výrok (celá konjunkce) by byl nepravdivý.
Další je disjunkce. I zde spojka nebo pomáhá určit, kdy je výraz pravdivý a kdy ne. Zde je celý složený výraz pravdivý, pokud je alespoň jeden z výroků pravdivý. Opět se podívejte na předchozí příklad disjunkce – „Vyhodíme Hornovou nebo zrušíme BigBrothera“. Tento složený výrok by nebyl pravdivý pouze v tom případě, kdyby Lenka Hornová nebyla vyhozena a BigBrother by neskončil.
Pravdivý je ve všech ostatních případech, takže když chuděrku Lenku vyhodí, ale nezruší BigBrothera, výrok bude pravdivý. Když Lenka zůstane, ale zruší se BigBrother, opět bude složený výrok pravdivý, stejně jako když Lenku vyhodí a zruší BigBrothera.
Implikace už je trošičku složitější. Zde je výrok pravdivý vždy, kromě sitauce, kdy je první výrok pravdivý a druhý nepravdivý. Máme tedy danou větu – „Jestliže vyhodíme Hornovou, pak zrušíme BigBrothera“. Takže to vezmeme popořadě. Když budou oba výrazy pravdivé (Lenka bude vyhozena a bude zrušen BigBrother), tak bude celý výrok pravdivý. To je jasné. Druhý případ. Když bude první výrok pravdivý (Lenka bude vyhozena), ale druhý výrok bude nepravdivý (BigBrother nebude zrušen), bude celý složený výrok nepravdivý, protože nebyla splněna podmínka, že jestliže bude Hornová vyhozena, potom se musí zrušit i BigBrother.
Poslední dva případy už jsou v podstatě totožné. Pro případ, kdy je první výrok nepravdivý, není zadána podmínka. Věta „Jestliže vyhodíme Hornovou“ už vlastně počítá s tím, že Lenka bude vyhozena, tudíž z této věty nemůžeme jednoznačně určit, co se má stát, když Lenka vyhozena nebude. Proto, když je první výrok nepravdivý, je implikace vždy pravdivá. Nezáleží na tom, zda je druhý výraz pravdivý (BigBrother byl zrušen) nebo nepravdivý (BigBrother nebyl zrušen).
Poslední logická spojka je ekvivalence. Zde je složený výrok pravdivý, pokud jsou oba výroky pravdivé nebo jsou oba výroky nepravdivé. Takže ekvivalence „Vyhodíme Hornovou právě tehdy, když zrušíme BigBrothera“ by byla pravdivá v případě, že by Lenka byla vyhozena a zároveň zrušili BigBrothera. Nebo pokud by Lenka vyhozena nebyla a zároveň by ani nebyl zrušen BigBrother. Kdyby byla Lenka vyhozena a přitom by sledovanost byla vyšší než jeden milion, nebyl by složený výrok pravdivý, stejně tak jako kdyby Lenka nebyla vyhozena, když klesla sledovanost pod jeden milion.
Už jsem psal o negaci jednoduchých výroků, na tom není nic těžkého. U složených výroků už člověk musí trochu přemýšlet. Negace se obvykle značí buď takto ¬A nebo takto A'. Většinou ale vídám tento znak ¬, takže ho budu používat i zde. O negaci platí jedno jednoduché pravidlo: v případech, kdy je původní složený výrok pravdivý, musí být znegovaný složený výrok nepravdivý.
Máme tedy výrok A B
(konjunkce). Negaci konjunkce zapíšeme pomocí kulatých závorek ¬(A B). Tento výrok můžeme také
zapsat jako ¬A ¬B. Neboli
slovně: mám výrok „Venku je teplo a svítí tam
sluníčko“. Negace tohoto výroku pak je výrok „Venku není teplo nebo tam nesvítí sluníčko“.
Všimněte si, že v případech, kdy je tento znegovaný výrok pravdivý, je
původní výrok nepravdivý. Například když venku není teplo, je znegovaný
výrok pravdivý, ale původní je nepravdivý.
Negace disjunkce A B je
podobná předchozí negaci konjunkce: ¬A ¬B. Slovně by to potom vypadalo takto. Původní výrok:
„Půjdu na koncert nebo půjdu do kina“.
Znegovaný výrok: „Nepůjdu na koncert a nepůjde do
kina“.
Negace implikace ¬(A B) pak je (A ¬B) .
Takže slovně: „Jestliže je číslo pět liché, pak
je číslo šest sudé“. Negace tedy bude vypadat takto: „číslo pět je liché a zároveň je číslo šest
liché“.
Poslední ekvivalence je o fous komplikovanější. Zápis vypadá takhle:
¬(A B)
negace: (A ¬B) (¬A B). No, je to trochu delší :-) Slovně to bude znít
takhle: „Klára přijde právě tehdy, když nepřijde
Jindřich“. Negace tohoto složeného výroku: „Přijde Klára a zároveň přijde Jindřich nebo nepřijde
Klára a nepřijde Jindřich“.
| složený výrok | jeho negace |
|---|---|
| A B |
¬A ¬B |
| A B |
¬A ¬B |
| A B |
A ¬B |
| A B |
(A ¬B) (¬A B) |
