Celá čísla

Celá čísla jsou čísla, která nemají desetinnou část, obsahují v sobě přirozená čísla, k nim inverzní (záporná) čísla a nulu.

Vlastnosti

Celá čísla je množina, která obsahuje čísla …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … Množinu obvykle značíme písmenem Z, se zdvojenou prostřední čárou: , z německého „Zahlen“ (čísla). Celá čísla je nekonečná a spočetná množina.

Celá čísla mají například tyto vlastnosti:

  1. Jsou uzavřená na operacích sčítání a násobení, stejně jako přirozená čísla. To znamená, že pokud sečteme dvě celá čísla, získáme opět celé číslo.
  • Na rozdíl od přirozených čísel jsou celá čísla uzavřená také na operací odečítání. Přirozená čísla nebyla, protože rozdílem dvou přirozených čísel jsme mohli získat číslo záporné. Což nám v případě celých čísel nevadí, protože ta záporná čísla obsahují.
  • Stejně jako přirozená čísla nejsou uzavřená na operaci dělení. Stále platí, že můžeme po dělení získat nějaké necelé číslo.
  • Ke každému celému číslu c existuje inverzní číslo −c. Pokud máme číslo 10, je inverzní číslo −10. Pro 55 je to −55. A stejně tak se zápornými čísly: pro −13 je inverzní prvek 13. Pokud máme celé číslo c a k němu inverzní číslo −c, pak jejich součtem získáme nulu: c+(−c) = 0. Proto inverzním prvkem k nule je zase nula.

Sudá a lichá čísla

Celá čísla můžeme rozdělit na sudá a lichá čísla. Sudá čísla jsou čísla, která jsou dělitelná dvojkou, tedy 2, −4, −8, 40, 124 atd. Lichá čísla mají po dělení dvěma zbytek jedna, tj. jsou to čísla −1, 1, 5, 19, −41, atd. Všimněte si, že opravdu i u záporných čísel rozlišujeme sudost a lichost (tj. číslo −5 je opravdu liché) a že nula je sudé číslo.

Vlastnosti vzhledem k operaci sčítání: pokud sečtete dvě sudá čísla, získáte opět číslo sudé. Další vlastnosti zobrazuje následující tabulka:

$$\begin{eqnarray} \mbox{sudé}+\mbox{sudé}&=&\mbox{sudé}\\ \mbox{sudé}+\mbox{liché}&=&\mbox{liché}\\ \mbox{liché}+\mbox{liché}&=&\mbox{sudé} \end{eqnarray}$$

Podobná tabulka pro násobení:

$$\begin{eqnarray} \mbox{sudé}\cdot\mbox{sudé}&=&\mbox{sudé}\\ \mbox{sudé}\cdot\mbox{liché}&=&\mbox{sudé}\\ \mbox{liché}\cdot\mbox{liché}&=&\mbox{liché} \end{eqnarray}$$

Dělení se zbytkem

I na množině celých čísel můžeme, podobně jako u přirozených čísel, nadefinovat dělení se zbytkem, jen se musíme vypořádat se zápornými čísly. Takže základní definice bude tentokrát vypadat takto:

$$a=q\cdot b+r,\qquad a,q\in\mathbb{Z}, b\in\mathbb{Z}-\left\{0\right\}, 0\le r<|b|$$

V tomto výrazu dělíme a:b, číslo q představuje výsledek (kvocient) a číslo r zbytek po dělení. Číslo b musí být různé od nuly, nemůžeme dělit nulou. Zbytek musí být kladný a musí být menší než absolutní hodnota z b, což nám eliminuje případ, kdy bychom dělili záporným číslem.

Jak by pak takové dělení vypadalo? Zkusíme vydělit −21:4. Pak by čísla vypadala takto:

$$-21=-6\cdot4+3$$

Výsledek (kvocient) je −6 a zbytek je 3. Může vás překvapit, že výsledek je jiný než v případě, kdy bychom měli všechna čísla kladná:

$$21=5\cdot4+1$$

Zde by byl výsledek (kvocient) 5 a zbytek 1. Rozdíl je právě v záporných číslech. V kladných číslech totiž v prvním kroku hledáme největší celé číslo, které je menší než 21 a je dělitelné čtyřmi beze zbytku. To je číslo 20. Proto vydělíme 20:4 = 5 a dostaneme naší pětku. Zbytek pak získáme rozdílem 21 − 20.

V záporných číslech postupujeme stejně. Hledáme největší číslo, které je menší než −21 a je dělitelné beze zbytku 4. Číslo −20 ale není menší než −21, je větší. Proto největší číslo, které je menší než −21 a je beze zbytku dělitelné 4 je číslo −24. Zbytek opět získáme rozdílem −21−(−24) = −21 + 24 = 3.

Související články

Odkazy