Cramerovo pravidlo

Kapitoly: Systémy rovnic, Cramerovo pravidlo, Homogenní systémy

Cramerovo pravidlo se používá pro řešení systému lineárních rovnic, kde matice systému je regulární.

Cramerovský systém

Mějme systém lineárních rovnic Ax = b. Tento systém nazveme cramerovský, pokud je A čtvercová regulární matice. To znamená, že determinant této matice je vždy nenulový a matice tak nemá žádné lineárně závislé řádky nebo sloupce.

Podle Frobeniovy věty má každý cramerovský systém právě jedno řešení. Frobeniova věta říká, že pokud rank(A) = rank(A|b) = k, pak má systém řešení. Matice A cramerovského systému je čtvercová a má maximální možnou hodnost. To znamená, že pokud k této matici přidáme jakýkoliv další sloupec, tak tento sloupec musí být nutně lineární kombinací sloupců matice A. Takže přidáním sloupce z matice b nezvýšíme hodnost matice A.

Frobeniova věta také říká, že na vyjádření řešení potřebujeme n − k parametrů, kde n je počet proměnných a k je hodnost matice rank(A|b). U cramerovského systému bude platit n = k a tak na vyjádření řešení budeme potřebovat nula parametrů. Proto má každý cramerovský systém právě jedno řešení.

Dále označme Ai upravenou matici A tak, že na místo i-tého sloupce má sloupec b. Formálně matici Ai definujeme takto:

$$ A_i=\begin{pmatrix} a_{1,1}&…&a_{1,i-1}&b_1&a_{1,i+1}&…&a_{1,n}\\ a_{2,1}&…&a_{2,i-1}&b_2&a_{2,i+1}&…&a_{2,n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{n,1}&…&a_{n,i-1}&b_n&a_{n,i+1}&…&a_{n,n}\\ \end{pmatrix} $$

kde aij jsou prvky matice A a bi prvky matice b.

Cramerovo pravidlo

Nechť Ax = b je cramerovský systém lineárních rovnic. Cramerovo pravidlo říká, že tento systém má právě jedno řešení (x1, x2, …, xn), kde

$$x_i=\frac{\mbox{det }A_i}{\mbox{det } A}=\frac{|A_i|}{|A|}.$$

Pravidlo si hned ukážeme na malém příkladu. Vyřešíme následující systém pomocí Cramerova pravidla.

$$ \begin{array}{ccccccccc} x_1&+&2x_2&=&5\\ 4x_1&+&3x_2&=&15& \end{array} $$

Matice systému bude mít tvar:

$$ A=\begin{pmatrix} 1&2\\ 4&3 \end{pmatrix} $$

Determinant matice je rovný:

$$|A| = 3 - 8 = -5.$$

Dále si vytvoříme matice A1 a A2. Ty budou mít tvar:

$$ A_1=\begin{pmatrix} 5&2\\ 15&3 \end{pmatrix},\qquad A_2=\begin{pmatrix} 1&5\\ 4&15 \end{pmatrix} $$

Vypočítáme determinanty těchto matic:

$$\begin{eqnarray} |A_1|&=&5\cdot3-15\cdot2=-15\\ |A_2|&=&1\cdot15-4\cdot5=-5 \end{eqnarray}$$

A postupně vypočítáme x1 a x2. Podle Cramerova pravidla bude pro prvek x1 platit rovnost

$$x_1=\frac{|A_1|}{|A|}$$

Po dosazení tak máme

$$x_1=\frac{-15}{-5}=3$$

Totéž pro druhý prvek x2:

$$x_2=\frac{|A_2|}{|A|}=\frac{-5}{-5}=1$$

Řešením systému rovnic tak je dvojice (x1, x2) = (3, 1).

Cramerovo pravidlo je vhodné především v případě, kdy chcete postup algoritmizovat, snadno se programuje. Řešit soustavu pomocí Cramerova pravidla ručně bývá obvykle složitější, než ji řešit Gaussovou eliminační metodou.

Odkazy a zdroje