Vzorce pro práci s derivacemi

Několik užitečných vzorců pro počítání derivací funkcí.

Základní vzorce

Základní vzorce, které použijete téměř při každém výpočtu derivace funkce. V prvním sloupečku je původní funkce, v druhém derivace funkce. Předpokládáme, že derivujeme podle x a že je c konstanta.

$$\begin{eqnarray} c^\prime&=&0\\ x^\prime&=&1\\ (x^c)^\prime&=&cx^{c-1} \end{eqnarray}$$

Sčítání, násobení a dělení

Předpokládejme, že f(x) resp. f a g(x) resp. g jsou nějaké funkce. Pak můžeme napsat:

$$\begin{eqnarray} (f+g)^\prime&=&f^\prime+g^\prime\\ (c\cdot f)^\prime&=&c\cdot f^\prime\\ (f\cdot g)^\prime&=&f^\prime\cdot g+f\cdot g^\prime\\ \left(\frac{f}{g}\right)^\prime&=&\frac{f^\prime\cdot g-f\cdot g^\prime}{g^2}\\ \end{eqnarray}$$

Speciálně pak máme derivaci složené funkce:

$$\begin{eqnarray} (f(g(x)))^\prime&=&f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x) \end{eqnarray}$$

Logaritmy a exponenciální funkce

$$\begin{eqnarray} (c^x)^\prime&=&c^x\ln c;\quad c>0\\ (e^x)^\prime&=&e^x\\ (\log_cx)^\prime&=&\frac{1}{x\cdot \ln c};\quad c>0\wedge c\ne0\\ (\ln x)^\prime&=&\frac{1}{x} \end{eqnarray}$$

Goniometrické funkce

$$\begin{eqnarray} (\sin x)^\prime&=&\cos x\\ (\cos x)^\prime&=&-\sin x\\ (\tan x)^\prime&=&\frac{1}{\cos^2x}\\ (\mbox{cotan},x)^\prime&=&-\frac{1}{\sin^2x}\\ (\arcsin x)^\prime&=&\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\arccos x)^\prime&=&-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\arctan x)^\prime&=&\frac{1}{1+x^2}\\ (\mbox{arccotan}, x)^\prime&=&-\frac{1}{1+x^2}\\ \end{eqnarray}$$