Dimenze vektorového prostoru
Kapitoly: Vektorové prostory, Příklady vektorových prostorů, Vektorový podprostor, Lineární kombinace vektorů, Lineární obal, Báze vektorového prostoru, Dimenze vektorového prostoru, Matice přechodu
Dimenze vektorového prostoru je rovna počtu prvků báze tohoto vektorového prostoru. Pokud je báze nekonečná, pak řekneme, že je i dimenze nekonečná.
Definice dimenze vektorového prostoru
Mějme vektorový prostor V a nějakou jeho bázi B. Tj. platí, že B ⊆ V, množina B obsahuje lineárně nezávislé vektory a lineární obal množiny B je roven prostoru V: <B> = V.
Pokud má báze B konečný počet prvků n, pak řekneme, že dimenze prostoru V je n. Dimenzi značíme slovem dim, takže dim V = |B| = n. Pokud je báze B nekonečná, řekneme, že dimenze prostoru je také nekonečná. Protože všechny báze prostoru jsou vždy stejně velké, je jedno, jakou bázi vezmeme.
Příklad: prostor ℝ3 má bázi [1,0,0], [0,1,0], [0,0,1]. Jsou to celkem tři vektory, tedy $\dim \mathbb{R}^3 = 3$. Obecně můžeme říci, že $\dim \mathbb{R}^n = n$.
Pokud má prostor V dimenzi n, mluvíme o n-rozměrném vektorovém prostoru.
Vlastnosti dimenze vektorového prostoru
- Mějme vektorový prostor V a nějaký jeho podprostor W ⊆ V. Pak platí, že $\dim W \le \dim V$.
- Mějme vektorový prostor V a nějaký jeho podprostor W ⊂ V. Pak platí, že $\dim W < \dim V$. Tento bod je rozdílný v tom, že nepřipouštíme, aby W = V. Máme-li tak podprostor W, který je menší než V, tak tento podprostor bude mít i nižší dimenzi. Proč? Protože existuje vektor x ∈ V ∖ W, který není lineární kombinací vektorů z W a tedy není ani lineární kombinací vektorů z libovolné báze W.
- Pokud má prostor V dimenzi n, tak jakýchkoliv n lineárně nezávislých vektorů tvoří bázi prostoru V. Množina n + 1 vektorů pak tvoří lineárně závislou množinu vektorů.