Kvadratické rovnice

Kvadratická rovnice je rovnice, která obsahuje jednu neznámou, která je umocněna na druhou. Pokud rovnice obsahuje neznámou, která je umocněna na vyšší exponent než na druhou, tak pak se již o kvadratickou rovnici nejedná.

Popis kvadratické rovnice

Základní tvar kvadratické rovnice vypadá následovně:

$$ax^2+bx+c=0$$

Hodnoty a, b, c jsou reálná čísla a hodnota a je různá od nuly. Další pojmenování:

• ax² se nazývá kvadratický člen,
• bx se nazývá lineární člen,
• c se nazývá absolutní člen.

Každá kvadratická rovnice lze upravit na základní tvar pomocí ekvivalentních úprav nebo pomocí jiných úprav. Příkladem kvadratické rovnice může být tato rovnice:

$$3x^2-6x+8=0.$$

Složitější otázka už může být, zda je i toto kvadratická rovnice:

$$(x+1)\cdot(x+2)=7.$$

Nikde není vidět x² a na pravé straně není nula. Pravou stranu vyřešíme jednoduše, odečteme sedmičku, čímž dostaneme tvar

$$(x+1)\cdot(x+2)-7=0.$$

Stále tam nemáme x². Roznásobíme závorky a dostaneme:

$$x^2+2x+x+2-7=0$$

Už tam máme x². Po sečtení dostaneme konečně základní tvar kvadratické rovnice:

$$x^2+3x-5=0.$$

Co následující příklad, jedná se o kvadratickou rovnici? Lze převést do základního tvaru?

$$x^2+3x+\frac{4}{x}=0$$

Odpovědí je, že nejde. Pokud totiž celou rovnici vynásobíme proměnnou x, abychom se zbavili proměnné ve jmenovateli zlomku, dostaneme:

$$x^3+3x^2+4=0.$$

Nyní už tam máme x³, což v kvadratické rovnici být nemůže.

Existují speciální typy kvadratických rovnic, v závislosti na tom, jakou hodnotu mají koeficienty a, b a c.

Hodnoty koeficientů

Pro další kapitoly je naprosto kritické, abyste zvládali určit jednotlivé koeficienty a, b a c. Začněme nějakým jednoduchým příkladem. Určete koeficienty u rovnice 3x² + 4x + 7 = 0. Zde je to jednoduché, a = 3, b = 4 a c = 7.

Co například rovnice 3x² − x + 2 = 0? Hodnoty a a c jsou jasné, a = 3 a c = 2, ale co b? Chybou by bylo napsat, že b = 1. Představte si, že před tím x je jednička, takto: 3x² − 1x + 2 = 0. Nyní už by mohlo být více vidět, že b = −1.

Další zajímavý příklad: x² − 3 = 0. Tady opět může nastat problém s koeficientem b, ostatní jsou zřejmé: a = 1 a c = −3. Jaká je hodnota koeficientu b? Lineární člen se v této rovnici vůbec nevyskytuje, je to stejné, jako bychom rovnici napsali ve tvaru x² + 0x − 3 = 0. Takže platí, že b = 0.

Složitější příklad:

$$5x^2+3x+\pi\cdot x=0$$

V této rovnici jsou dvě zrady. Není tam absolutní člen, takže c = 0. Kvadratický člen je jasný, takže a = 5. Ale co to prokleté b? Můžeme rovnici ještě trochu upravit, vytkneme ze dvou výrazů proměnnou x takto:

$$5x^2+(3+\pi)x=0$$

Koeficient b je opět to, co je „před“ proměnnou x, takže celá závorka je rovna koeficientu b = (3+π). Podobná rovnice:

$$-x^2+4x+1-\sqrt{2}=0$$

První dva koeficienty jsou zřejmé: a = −1 a b = 4. Jaký je absolutní člen? To jsou ty zbývající výrazy, kde není x. Takže platí, že $c=1-\sqrt{2}$. Nebojte se odmocniny, nekouše, je to normální číslo.

A jaké jsou hodnoty u této rovnice? (x + 1)(x + 2) = −2x. Jako první musíme rovnici upravit do základního tvaru. Roznásobíme závorky a dostaneme

$$x^2+3x+2=-2x$$

a nakonec přičteme k rovnici 2x, abychom dostali na pravé straně nulu:

$$x^2+5x+2=0.$$

Hodnoty už jsou zřejmé: a = 1, b = 5, c = 2.

Ryze kvadratická rovnice

Pokud se b = 0 jedná se o ryze kvadratickou rovnici, která se řeší obdobně, jako lineární rovnice. Tato rovnice má tedy základní tvar:

$$ax^2+c=0$$

Protože b = 0, tak nám celý lineární člen bx z rovnice vypadne, protože 0x = 0. Rovnici řešíme tak, že nejprve odečteme absolutní člen. Tedy odečteme od rovnice hodnotu c. Tím dostaneme:

$$\begin{eqnarray} ax^2+c&=&0\quad/-c\\ ax^2&=&-c \end{eqnarray}$$

Dále vydělíme rovnici číslem a. Dostaneme tvar:

$$x^2=\frac{-c}{a}$$

A nakonec celou rovnici odmocníme. Přitom musí platit, že zlomek na pravé straně nesmí být záporný, protože záporné číslo odmocnit nejde. Dostaneme výsledek:

$$x_1=\sqrt{\frac{-c}{a}},\quad x_2=-\sqrt{\frac{-c}{a}}$$

Všimněte si, že dostaneme dva výsledky, jeden kladný a druhý záporný. To bude lépe vidět na příkladu. Vypočítáme si rovnici

$$2x^2-8=0.$$

Podle postupu jako první odečteme člen c. Pozor na to, že člen c je v tomto případně záporný, takže odečítáme záporné číslo, tedy přičítáme kladné. K celé rovnici tak přičteme +8 (cílem je dostat osmičku na pravou stranu). Dostaneme tvar:

$$2x^2=8$$

Dále podle postupu vydělíme rovnici číslem a, což je dvojka. Po vydělení dostaneme tvar:

$$x^2=4$$

Nyní odmocníme.

$$x_1=2,\quad x_2=-2$$

Proč je tam i minus dva? Protože minus dva krát minus dva jsou čtyři. Můžeme se podívat i na grafické řešení: vidíme, že graf funkce 2x² − 8 = 0 protíná osu x právě v bodech x₁ = −2 a x₂ = 2.

Vyřešte rovnici

$$80x^2-5=0.$$

K rovnici přičteme pětku:

$$80x^2=5$$

Vydělíme 80:

$$x^2=\frac{5}{80}$$

Zkrátíme zlomek:

$$x^2=\frac{1}{16}$$

Odmocníme:

$$x_1=\frac14,\quad x_2=-\frac14$$

Kvadratická rovnice bez absolutního členu

Další specifický případ kvadratické rovnice nastává, když se absolutní člen c rovná nule. Rovnice má základní tvar:

$$ax^2+bx=0$$

Tento typ rovnice se řeší vytýkáním neznámé:

$$x(ax + b) = 0.$$

Zde je již vidět poměrně jasný výsledek. Opět vyjdou dva kořeny rovnice, ale jeden z nich bude vždy roven nule. Celou levou stranu totiž máme ve formě součinu dvou výrazů: x a pak závorku (ax + b). Kdy je tento součin roven nule? Pokud je alespoň jeden z těchto výrazů roven nule. Levá strana je tak rovna nule ve dvou případech:

$$x=0\quad\mbox{nebo}\quad ax+b=0.$$

První výsledek rovnice už tak máme, je to nula. Další získáme, pokud vyřešíme lineární rovnici ax + b = 0. Z článku o lineárních rovnicích víme, že tato rovnice má právě jedno řešení, které je rovno:

$$x=-\frac{b}{a}$$

Takže už můžeme zapsat výsledek celé kvadratické rovnice ax² + bx = 0:

$$x_1=0,\quad x_2=-\frac{b}{a}.$$

Příklad:

$$6x^2+3x=0$$

Vytkneme x:

$$x(6x+3)=0$$

První řešení je x = 0. Druhé řešení nalezneme vyřeším lineární rovnice 6x + 3 = 0:

$$x=-\frac{b}{a}=-\frac36=-\frac12.$$

Zapíšeme výsledek:

$$x_1=0,\quad x_2=-\frac12.$$

Opět se můžeme podívat na graf funkce, který protíná osu x právě v těchto bodech:

Další způsoby řešení

Toto byly základní techniky pro specifické typy kvadratických rovnic. Obecná kvadratická rovnice se řeší pomocí diskriminantu. Mezi další typy rovnic patří kvadratická rovnice s parametrem.