Distributivita

Distributivita je vlastnost dvou binárních operací, jako například sčítání a násobení. Distributivita nám, v případě násobení a sčítání, říká, že můžeme „roznásobit závorku“. Pro příklad, máme-li výraz

$$2\cdot(3+4)$$

tak víme, že můžeme tzv. roznásobit závorku, čímž dostaneme jiný výraz

$$2\cdot(3+4) = 2\cdot3+2\cdot4$$

Oba výrazy přitom vedou na stejný výsledek, na číslo 14. Toto roznásobení jsme mohli udělat proto, že operace násobení je na množině reálných čísel distributivní vůči operací sčítání. Obecně tak platí, že máme-li dvě operace · a +, pak řekneme, že operace · je na množině M distributivní vůči operaci +, pokud platí

$$\begin{eqnarray} a\cdot(b+c) &=& (a\cdot b) + (a\cdot c)\\ (b+c)\cdot a &=& (b\cdot a) + (c\cdot a) \end{eqnarray}$$

pro všechny a, b, c ∈ M. Dalším příkladem distributivních operací jsou například operace z výrokové logiky, konjunkce ∧ a disjunkce ∨. Představme si, že máme výroky A, B a C. Pokud řekneme „A a zároveň (B nebo C)“, zapíšeme to jako

$$A \wedge (B \vee C)$$

A protože operace konjunkce je distributivní vůči operaci disjunkce, platí zároveň

$$(A \wedge B) \vee (A \wedge C)$$

Tedy, slovně: “(A a zároveň B) nebo (A a zároveň C)“. Abychom měli i příklad operací, které distributivní nejsou, vezměme si třeba sčítání a odečítání:

$$10-(5+3)$$

Správný výsledek je samozřejmě 2, protože po sečtení závorky dostaneme 10 − 8, což je 2. Když bychom na tento výpočet aplikovali pravidlo distributivity, dostali bychom výraz:

$$(10-5)+(10-3)$$

Po sečtení závorek bychom měli 5 + 7, což je 12. Vidíme, že jsme dostali špatný výsledek, operace sčítání a odečítání tedy distributivní nejsou.

Další příklady: některé operace s maticemi splňují distributivní zákon. Vektory ve vektorovém prostoru též. Operace nad tělesem musí být distributivní.