Faktoriál

Faktoriál čísla n je roven součinu všech přirozených čísel, která jsou menší nebo rovna číslu n. Faktoriál zapisujeme pomocí vykřičníku n!. Přičemž pro nulu platí: 0! = 1. Faktoriál se využívá především v kombinatorice, kde se pomocí něj počítá například permutace. Například faktoriál pěti by se rovnal 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.

Definice faktoriálu

Faktoriál můžeme definovat různými způsoby. Ten nejjednodušší je asi tento:

$$ n! = \begin{cases} 1&\text{pokud n = 0}\\ n\cdot (n-1)!&\text{jinak} \end{cases} $$

Můžeme také uvést definici pomocí produktu:

$$ n!=\prod_{k=1}^nk $$

Případně ještě pomocí integrálu:

$$ (z-1)!=\Gamma (z):=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t,\qquad\Re (z)>0. $$

(Podrobnosti na matematickém fóru.)

Počítání s faktoriály

S faktoriály se často počítá ve zlomcích. Zde se pak využívá faktu, že n! = n · (n − 1)!. Toto platí z definice, ukážeme si to na příkladu. Víme, že faktoriál čtyř, 4!, je rovný součinu těchto přirozených čísel: 4 · 3 · 2 · 1. Přitom můžeme napsat, že součin 3 · 2 · 1 je rovný faktoriálu tří: 3 · 2 · 1 = 3!. Faktoriál čtyř už pak můžeme napsat jako 4! = 4 · 3!.

$$ 4!=4\cdot\underbrace{3\cdot2\cdot1}_{=3!}=4\cdot3! $$

Díky tomu můžeme mnoho různých faktoriálů ve zlomcích efektivně zkrátit. Ukázkový příklad — zjednodušte výraz:

$$\frac{n!}{(n-2)!}$$

Zjednodušení provedeme podle vzorce, který jsem před chvíli zmínil. V čitateli můžeme faktoriál rozdělit na n · (n − 1)! a toto ještě (podle stejného vzorce) můžeme rozložit na n · (n − 1) · (n−2)!. Nyní už můžeme zlomek hezky zkrátit:

$$\frac{n!}{(n-2)!}=\frac{n(n-1)\fbox{(n-2)!}}{\fbox{(n-2)!}}=n(n-1)$$

Další příklad:

$$\begin{eqnarray} \frac{n!\cdot(n+1)!}{(n-1)!\cdot(n+2)!}&=&\frac{n\cdot\fbox{(n-1)!}\cdot(n+1)!}{\fbox{(n-1)!}\cdot(n+2)!}\\ &=&\frac{n\cdot(n+1)!}{(n+2)!}\\ &=&\frac{n\cdot\fbox{(n+1)!}}{(n+2)\cdot\fbox{(n+1)!}}\\ &=&\frac{n}{n+2} \end{eqnarray}$$

A poslední příklad na faktoriál:

$$\begin{eqnarray} \frac{(2(n+1))!}{(2n)!} &=& \frac{(2n+2)!}{(2n)!}\\ &=&\frac{(2n+2)(2n+1)\fbox{(2n)!}}{\fbox{(2n)!}}\\ &=&(2n+2)(2n+1) \end{eqnarray}$$