Goniometrické funkce
Kapitoly: Základní goniometrické funkce, Jednotková kružnice, Cyklometrické Arcus funkce, Sinus, cosinus, tangens a cotangens, Vzorce pro goniometrické funkce, Grafy goniometrických funkcí, Sinová a cosinová věta
V tomto článku se budu zabývat goniometrickými funkcemi, občas též zvanými trigonometrickými funkcemi. Slovo goniometrie pochází z řečtiny a znamená měření úhlů, trigon se pak překládá jako trojúhelník. Známe čtyři základní goniometrické funkce — sinus, cosinus, tangens a kotangens.
Základní pojmy o trojúhelníku
Goniometrické funkce pracují s úhly v trojúhelníku, proto si v této části zopakujeme pojmy související s trojúhelníkem.
Na obrázku je vidět trojúhelník, který je tvořen vrcholy A, B a C; jedná se tak o trojúhelník ABC. Najdeme zde tři strany: AB, BC, AC. Dále si všimněte, že tyto strany jsou ještě navíc pojmenovány malými písmeny. Toto pojmenování má své pravidlo — naproti vrcholu A máme stranu a. Naproti vrcholu B je strana b a naproti vrcholu C je strana c. Po daném vrcholu je tak vždy pojmenována protější strana; ta strana, která není tvořena daným vrcholem.
Každý trojúhelník má tři vnitřní úhly, které obvykle označujeme řeckými písmeny alfa α, beta β a gama γ. Součet všech tří vnitřních úhlů musí vždy dát 180 stupňů. U vrcholu A máme obvykle úhel alfa, u B beta a u C gama.
Přestože goniometrické funkce můžeme nějakým způsobem používat u jakéhokoliv trojúhelníku, často pracujeme pouze s pravoúhlým trojúhelníkem. Pravoúhlý trojúhelník je takový trojúhelník, který má jeden úhel pravý, tj. o velikosti 90 stupňů. Vypadá například takto:
Pravoúhlý trojúhelník má speciálně pojmenované strany. Nejdelší strana se nachází naproti pravého úhlu a říká se jí přepona (modrá strana na obrázku). Dvěma kratším stranám se říká odvěsny (červené strany). Tento trojúhelník nás bude v tomto článku zajímat nejvíce.
Značení odvěsen v trojúhelníku
Přejděme postupně k první goniometrické funkci, k funkci sinus. Všechny goniometrické funkce nám ukazují vztah mezi nějakým úhlem v trojúhelníku a poměrem délek dvou stran. Zpravidla se pak nejedná o pravý úhel, ale o ty zbývající dva. Vstupem do goniometrické funkce je tak velikost úhlu. Výstupem je poměr nějakých dvou stran. Jednotlivé funkce se liší podle toho, s jakými stranami pracují.
Funkce sinus pracuje s protilehlou odvěsnou a přeponou. Co je přilehlá a protilehlá odvěsna vzhledem k danému úhlu ukazuje následující obrázek.
Na obrázku pracujeme s úhlem beta, tedy s úhlem u vrcholu B. Černá strana je přepona, na ní se nic nemění. Červeně zvýrazněná strana c je přilehlá odvěsna, protože přiléhá k úhlu beta. Modře zvýrazněná strana b je protilehlá odvěsna, protože je naproti úhlu beta. Důležité je, že tyto pojmy vztahují vždy k úhlu. Pokud se budeme dívat na obrázek z pohledu úhlu gama, dostaneme tento výsledek:
Funkce sinus
Sinus úhlu alfa se rovná poměru délky protilehlé odvěsny ku délce přepony. Co to znamená? Pokud spočítáme (na kalkulačce například) sinus úhlu alfa, získáme hodnotu podílu
$$\sin(\alpha)=\frac{\mbox{Délka protilehlé odvěsny}}{\mbox{Délka přepony}}$$
Zkusíme si to na tomto trojúhelníku a úhlu beta:
Je to hezký trojúhelník, délky stran jsou: |a| = 5, |b| = 3 a |c| = 4. Protilehlá odvěsna k úhlu beta je strana b, přepona je strana a. Vypočítáme podíl b/a, tedy 3/5, což je 0,6. Sinus úhlu beta se tak rovná 0,6. Úhel beta má velikost $36^\circ 52^\prime$, pokud tento úhel naskládáte do kalkulačky a vypočítáte sinus, získáte právě 0,6 (po drobném zaokrouhlení). Výsledek si můžete ověřit v kalkulačce na počítání hodnoty funkce sinus.
K čemu je to dobré
Je to dobré v případě, kdy znáte jeden úhel a délku jedné strany a potřebujete dopočítat zbývající strany.
Jako první si napíšeme, co vlastně víme. Známe úhel alfa. Víme, že sinus tohoto úhlu je rovný poměru protilehlé odvěsně (což je strana a) ku přeponě (strana b). Zapsáno matematicky:
$$\sin(\alpha)=\frac{|a|}{|b|}$$
Sinus úhlu známe, respektive můžeme vypočítat, délku strany a známe. Jediné, co neznáme, je délka strany b. Tuto proměnnou se tak budeme snažit osamostatnit. Jako první vynásobíme rovnici délkou strany b. Dostaneme
$$|b|\cdot\sin(\alpha)=|a|$$
a teď už jen rovnici vydělíme sin(α) a dostáváme požadovaný tvar s délkou strany b na levé straně:
$$|b|=\frac{|a|}{\sin(\alpha)}.$$
Délku strany a známe, ta je rovna třem. Sinus třiceti stupňů je roven jedné polovině. Dosadíme:
$$|b|=\frac{3}{0{,}5}=6$$
Strana b má délku šest.
Funkce cosinus (kosinus)
Cosinus je velmi podobný funkci sinus. Terminologie kolem funkce cosinus je stejná jako v předchozí části, takže přejděme k definici:
Cosinus úhlu alfa se rovná poměru délky přilehlé odvěsny ku délce přepony. Takže pokud na kalkulačce spočítáme cosinus úhlu alfa, získáme tím hodnotu podílu
$$\cos(\alpha)=\frac{\mbox{délka přilehlé odvěsny}}{\mbox{délka přepony}}.$$
Přehledně rozdíl mezi sinem a cosinem zobrazuje následující obrázek:
Obě funkce pracují s přeponou trojúhelníka, ta zůstává černá. Sinus pak pracuje s protilehlou odvěsnou, což je — vzhledem k úhlu alfa — červená strana BC. Cosinus pracuje s přilehlou odvěsnou, což je modrá strana AB.
Vraťme se k příkladu, který byl popsán v minulé kapitole. Měli jsme spočítat délku přepony, pokud jsme znali délku strany a. Zkusíme nyní spočítat délku strany c, pokud známe úhel alfa a délku přepony, kterou jsme právě spočítali v předchozím příkladu: b = 6.
Co víme? Úhel alfa má velikost 30 stupňů, délka strany b je rovna šesti a cosinus nám udává poměr přilehlé odvěsny ku přeponě. Přilehlá odvěsna je strana c, což je strana, jejíž délku chceme zjistit. Zapíšeme:
$$\cos(\alpha)=\frac{|c|}{|b|}$$
Potřebujeme z rovnice osamostatnit |c|. To uděláme tak, že rovnici vynásobíme délkou strany b, čímž nám na pravé straně zůstane právě pouze délka strany c:
$$|b|\cdot\cos(\alpha)=|c|$$
Jen otočíme strany:
$$|c|=|b|\cdot\cos(\alpha)$$
Na pravé straně máme výrazy, které buď známe nebo umíme dopočítat. Cosinus třiceti stupňů je přibližně 0,866 (viz kalkulačka na počítání funkce cosinus). Dosadíme do rovnice:
$$|c|=6\cdot0{,}866=5{,}196$$
To je délka strany c. Jak uvidíme dále, cosinus třiceti stupňů je tabulková hodnota, která je rovna
$$\cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}(=0{,}866025\ldots),$$
takže předchozí délku můžeme zpřesnit na:
$$|c|=6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.$$
Tangens a kotangens (cotangens)
Existují ještě dvě další goniometrické funkce, tangens a kotangens. Hlavní rozdíl oproti předchozím goniometrickým funkcím je ten, že tangens a kotangens pracuje pouze s odvěsnami, nepracuje s přeponou.
Tangens úhlu alfa se rovná poměru délky protilehlé odvěsny ku délce přilehlé odvěsny. Tangens obvykle značíme buď tg nebo tan.
$$\tan(\alpha)=\frac{\mbox{Délka protilehlé odvěsny}}{\mbox{Délka přilehlé odvěsny}}$$
Cotangens úhlu alfa se rovná poměru délky přilehlé odvěsny ku délce protilehlé odvěsny. Cotangens obvykle značíme cot nebo cotan.
$$\cot(\alpha)=\frac{\mbox{Délka přilehlé odvěsny}}{\mbox{Délka protilehlé odvěsny}}$$
Terminologie je opět stejná jako v předchozích částech i další práce s funkcemi je stejná. Vraťme se k předchozímu příkladu a zkusme vypočítat délku strany c jen ze znalosti velikosti úhlu alfa a délky strany a, která je a = 3.
Tangens je poměr protilehlé odvěsny ku přilehlé odvěsně, takže matematicky zapsáno to bude vypadat takto:
$$\tan(\alpha)=\frac{|a|}{|c|}$$
Potřebujeme vypočítat délku strany c, takže musíme z této rovnice osamostatnit výraz |c|. Vynásobíme výrazem |c| a vydělíme $\tan(\alpha)$, podobně jako v předchozích příkladech.
$$\begin{eqnarray} \tan(\alpha)&=&\frac{|a|}{|c|}\quad/\cdot |c|\\ |c|\cdot\tan(\alpha)&=&|a|\quad/:\tan(\alpha)\\ |c|&=&\frac{|a|}{\tan(\alpha)} \end{eqnarray}$$
Dosadíme do pravé strany, kde tangens třiceti stupňů je přibližně roven 0,5773 (viz kalkulačka na počítání hodnoty funkce tangens).
$$|c|=\frac{3}{0{,}5773}=5{,}196.$$
Pro tangens třicet stupňů existuje tabulková hodnota, platí, že:
$$\tan(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{3},$$
takže předchozí výpočet můžeme vypočítat přesně:
$$|c|=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=3\cdot\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{9}{\sqrt{3}}.$$
Tabulkové hodnoty
Sinus, cosinus, tangens a cotangens mají pro některé hezké úhly hezké výsledné hodnoty. Zde je jejich základní přehled:
$$ \LARGE \begin{matrix} &\sin&\cos&\tan&\cot\\ 0^\circ&0&1&0&\times\\ 30^\circ&\frac12&\frac{\sqrt{3}}{2}&\frac{\sqrt{3}}{3}&\sqrt{3}\\ 45^\circ&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}&1&1\\ 60^\circ&\frac{\sqrt{3}}{2}&\frac12&\sqrt{3}&\frac{\sqrt{3}}{3}\\ 90^\circ&1&0&\times&0 \end{matrix} $$
Odkazy
Související pojmy zde na webu:
Další informace na jiných webech:
- Goniometrie a trigonometrie — diplomová práce z matfyzu
- Učebnice od Martina Krynického
- Úvod do Goniometrie/Trigonometrie na maths.cz