Jak si spočítat úroky u hypotéky

Běžná hypotéka je úvěr, který si bereme chceme-li si koupit nemovitost — typicky dům nebo byt. Pojďme si ukázat, jakým způsobem se počítají úroky, které z hypotéky budete muset zaplatit.

Roční úrok vs. měsíční úročení

Každá hypotéka má danou roční úrokovou sazbu, která se udává v procentech. Můžete tedy vidět reklamu na hypotéku se sazbou 3 % p. a. To „p. a.“ je zkratka pro latinské „per annum“ a česky to znamená „ročně“ nebo „za rok“. Zjednodušeně a nepřesně řečeno, pokud si půjčíte jeden milion korun, zaplatíte za rok 3 % na úrocích, což je 30 000 korun.

Ve skutečnosti ale nezaplatíte přesně třicet tisíc, zaplatíte méně. Běžnou hypotéku totiž splácíte měsíčně a stejně často vám banka započítává úroky. Namísto toho, aby vám banka vypočítala jeden roční úrok, vypočítá vám dvanáct měsíčních úroků. A protože vy postupně hypotéku splácíte, dlužíte bance stále méně a méně peněz a proto i výše úroku je stále nižší a nižší. Pojďme si to ukázat na příkladu. Půjčíte si jeden milion korun s 3% ročním úrokem a splátkou 10 000 korun měsíčně. Jaký bude první úrok?

První splátka

Jako první si vypočítáme měsíční úrokovou sazbu. Ta se počítá tak, že vydělíme roční sazbu dvanácti:

$$\frac{3 \%}{12} = 0{,}25 \%$$

Měsíční úroková sazba je tedy 0,25 %. Za první měsíc bance zaplatíme 0,25 % z toho, co ještě bance dlužíme, tj. z jednoho milionu korun. 0,25 % vypočítáme jako

$$1\ 000\ 000\cdot 0{,}25\%=1\ 000\ 000\cdot0{,}0025=2500$$

Za první měsíc zaplatíme bance na úrocích 2500 korun. Protože je naše měsíční splátka 10 000 korun, dlužíme bance po prvním měsíci

$$1\ 000\ 000+2500-10\ 000=992\ 500$$

992 500 korun. Naše první splátka se tak skládá z 2500 korun, které šly na úrok a 7500, kterými jsme umořili náš dluh vůči bance. Těmto 7500 korunám tedy říkáme úmor.

Druhá splátka

Jak by to vypadalo druhý měsíc? Měsíční úroková sazba se nemění, ta je stále 0,25 %. Mění se ale částka, kterou bance na hypotéce dlužíme. Tuto částku nazýváme jistina a po prvním měsíci je to 992 500 korun. Nový měsíční úrok vypočítáme úplně stejně jako první měsíc, jen místo jednoho milionu budeme počítat s 992 500 korunami, tj. vypočítáme 0,25 % z 992 500 korun:

$$992\ 500\cdot 0{,}25\%=992\ 500\cdot0{,}0025=2481{,}25$$

Druhý měsíc tedy dělá úrok pouze 2481,25 korun, namísto 2500 korun — protože už jsme umořili část dluhu a máme menší jistinu. Úmor bude roven

$$10\ 000 - 2481{,}25 = 7518{,}75$$

Druhý měsíc jsme tak z hypotéky umořili více než první měsíc a celkově už dlužíme jen

$$992\ 500-7518{,}75=984\ 981{,}25$$

Další splátky…

Další splátky se počítají stále stejně, dokud se nedostaneme na nulu. Třetí měsíc bychom tak vypočítali úrok jako

$$984\ 981{,}25\cdot0{,}25\%=984\ 981{,}25\cdot0{,}0025=2462.45$$

Vidíme, že úrok 2462,45 korun je zase o trochu menší než předchozí měsíc a naopak úmor 7537,55 je zase o trochu větší. Každý následující měsíc bude úrok menší a menší, protože dlužíme bance stále méně a méně peněz. A úmor bude stále větší a větší — postupem času splácíme hypotéku rychleji a rychleji, protože platíme méně peněz na úrocích a více peněz jde na umořování jistiny.

Můžeme si všimnout, že přestože roční úrok byl 3 %, tak nezaplatíme 30 000 korun na úrocích. Abychom zaplatili 30 000 na úrocích, museli bychom zaplatit 2500 korun na úrocích každý měsíc. My ale každý měsíc platíme méně a méně a ve výsledku tak na úrocích zaplatíme méně než 30 000 korun.

Fakticky je to vše, co potřebujete vědět k tomu, jak se počítají úroky z hypotéky. Pojďme se ale ještě podívat na některé další zajímavosti.

Přesný výpočet měsíčního úroku

Na začátku jsme si řekli, že měsíční úrok vypočítáme jako

$$\frac{3 \%}{12} = 0{,}25 \%$$

To je výpočet, který banky používají, ale matematicky správný není. Banky ho používají spíš z historického důvodu, protože dělení dvanácti je zkrátka jednodušší než matematicky správný postup. Čeho vlastně chceme docílit, když počítáme měsíční úrok? Roční úrok 3 % z jednoho milionu nám říká, že za rok by klient zaplatil 30 000 korun na úrocích. Představme si, že by klient celý rok nesplácel hypotéku a nechal by si jen připisovat úroky. Jakou měsíční úrokovou sazbu bychom měli mít, abychom po dvanácti měsících na úrocích nasbírali přesně 30 000 korun? Pokud použijeme náš vzorec „děleno dvanácti“, dostaneme totiž více než 30 000 korun. Pojďme si to schválně spočítat:

Jako první si ukážeme, jak jednoduše přičítat úroky k jistině. Pokud jsme vypočetli měsíční úrokovou sazbu jako 0,25 %, tak výslednou částku po připočtení úroků získáme tak, že jistinu vynásobíme číslem 1,0025:

$$1\ 000\ 000\cdot1{,}0025=1\ 002\ 500$$

Po dvou měsících bez splátek tak bude jistina rovna

$$1\ 000\ 000\cdot1{,}0025\cdot1{,}0025=1\ 005\ 006{,}25$$

Tedy, milion vynásobíme číslem 1,0025 tolikrát, kolikrát chceme připsat úrok. Abychom si to zjednodušili, můžeme využít mocnin, protože víme, že

$$1{,}0025\cdot1{,}0025=1{,}0025^2$$

tak můžeme napsat

$$1\ 000\ 000\cdot1{,}0025^2=1\ 005\ 006{,}25$$

My chceme vědět, jak vysoká částka by byla po 12 měsících:

$$1\ 000\ 000\cdot1{,}0025^{12}=1\ 030\ 416$$

Vidíme, že po 12 měsících by jistina byla rovna 1 030 416 korunám, což je o 416 korun více než by to mělo být. Jako… není to příliš velký rozdíl, to si přiznejme, ale zkrátka a dobře správný výsledek to není. Jak to opravit?

Vraťme se ještě k naší roční úrokové sazbě naší hypotéky. Chceme-li zjistit, jak velká by byla jistina, když bychom na ni aplikovali roční tříprocentní úrok, můžeme to napsat takto:

$$1\ 000\ 000\cdot1{,}03=1\ 030\ 000$$

My teď chceme číslo 1,03 rozložit na součin dvanácti stejných čísel, čímž získáme měsíční úrokovou sazbu. Tedy, součin jakých dvanácti stejných čísel nám dá výsledek 1,03? Je to dvanáctá odmocnina z 1,03:

$$1{,}03 = \sqrt[12]{1{,}03}\cdot\sqrt[12]{1{,}03}\cdot\ldots\cdot\sqrt[12]{1{,}03}$$

Můžeme si spočítat, že dvanáctá odmocnina z 1,03 je 1,0024662 a nějaké drobné, což věru není velký rozdíl oproti výsledku 1,0025, který jsme získali naší metodou dělení dvanácti. Ale je to správný výsledek: pokud by naše měsíční úroková sazba byla rovna $\sqrt[12]{1,03}$, zvýšila by se jistina po roce neplacení splátek přesně o tři procenta.

Denní vs. měsíční úrok

Zajímavostí je, že některé banky počítají měsíční úrok u hypoték trochu jinak. Výpočet měsíčního úroku tak, že vydělíme roční úrok dvanácti má totiž ještě jeden vedlejší efekt: pro všechny měsíce získáme stejnou úrokovou sazbu, přestože jsou měsíce různě dlouhé. Únor i červenec získají stejnou sazbu. Jak z toho ven? Některé banky to řeší tak, že vydělí roční úrok 360, čímž získají denní sazbu a následně vynásobí tuto denní sazbu počtem dní v měsíci.

Proč dělí 360 a ne 365 nebo 366? Protože je to opět jednodušší na počítání.

Odkazy

• Jak se splácí hypotéka