✖

Existuje více sudých, nebo lichých čísel?

Co myslíte, kterých čísel je více? Suchých, nebo lichých? Nebo je jich stejně? Jak bychom to mohli posoudit? A co další čísla? Existuje více sudých čísel, nebo přirozených čísel? Přirozených čísel, nebo racionálních čísel? Není to úplně jednoduché, protože všech zmíněných čísel je nekonečně mnoho. Přesto jsme schopni porovnat a zjistit, kterých čísel je více a kterých je méně.

Zkusme si to ukázat na malé množině čísel. Představme si dvě množiny čísel: modrá čísla a červená čísla:

1
2
3
4
5
6
7
8
9

Můžeme nějak říci, kterých čísel je více? Červených, nebo modrých? Jasně vidímě, že… Cože? Že jste barvoslepí a nevidí to jasně? No dobře, odteď budeme červená čísla navíc zobrazovat jako čtverečky:

1
2
3
4
5
6
7
8
9

Dobrá, teď můžeme jasně vidět, že modrých čísel je více než červených. Bylo to jednoduché, protože pracujeme s konečnými množinami čísel, proto je jsme schopni spočítat. Vidíme, že máme šest modrých čísel a jen tři červené. Nekonečné množiny už nebudou tak jednoduché, protože je nedokážeme spočítat. Pojďme si tedy odpovědět na otázku z titulku: je více suchých, nebo lichých čísel? Pro jednoduchost zůstaňme u pozitivních čísel. Představte si pytel plný všech lichých a pytel plný všech sudých čísel. Který pytel je větší?

1
3
5
7
9
11
13
15
…
2
4
6
8
10
12
14
16
…

No, představit si nekonečné množství čísel není zrovna jednoduché a spočítat je je ještě těžší. Neexistuje nějaký jiný způsob, jak bychom mohli porovnat velikosti množin?

Porovnávání dvou konečných množin

Představte si, že máme pytel plný ženichů a pytel plný nevěst. Pokud máme pro každého ženicha jednu nevěstu a pro každou nevěstu jednoho ženicha, můžeme říct, že máme stejný počet ženichů a nevěst:

👰 👰 👰 👰 👰 👰

🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 🤵

Vidíte? Každá nevěsta z prvního řádku má svého vlastního manžela z druhého řádku a naopak — každý manžel má svou vlastní manželku. Mohl by ale nastat i jiný případ: každá nevěsta by měla svého manžela, ale ne každý manžel by měl nevěstu:

👰 👰 👰 👰 👰 ❌

🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 🤵

Každá manželka má manžela, ale jeden manžel zůstává smutný na ocet bez manželky. V tuto chvíli, když nám jeden manžel přebývá, můžeme říci, že máme více manželů než manželek. Podobně když bude přebývat jedna nevěsta

👰 👰 👰 👰 👰 👰

🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 ❌

tak můžeme říci, že máme více nevěst než manželů.

Porovnávání dvou nekonečnýczh množich

Můžeme použít tento postup při porovnávání dvou nekonečných množin? Můžeme spárovat každé liché číslo s nějakým sudým číslem a každé sudé číslo s nějakým lichým číslem, přičemž žádné z čísel nemůžeme použít vícekrát? Můžeme! Každé liché číslo n můžeme spárovat se sudým číslem n + 1. Tedy číslo 5 spárujeme s číslem 5 + 1, číslo 149 s číslem 150 apod. Párování nám znázorňuje následující animace:

1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
41
43
45
47
49
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50

Pro každé liché červené číslo máme odpovídající unikátní modré sudé číslo a pro každé sudé modré číslo máme odpovídající unikátní červené liché číslo. Dokázali jsme spárovat všechna lichá čísla se všemi sudými čísly. Což ale znamená, že sudých a lichých čísel je stejné množství!

No dobrá, to nebylo úplně překvapující, že? Zkusme porovnat jiné množiny čísel: všechna přirozená čísla versus sudá čísla. Tady už bude výsledek více šokující.

Je více přirozených čísel, nebo sudých čísel?

Kterých čísel je více? Přirozených, nebo sudých?

1
2
3
4
5
6
7
8
…
 
2
 
4
 
6
 
8
…

Můžeme zřejmě vidět, že přirozená čísla v sobě zároveň obsahují všechna sudá čísla. A kromě toho přirozená čísla obsahují ještě nějaká čísla navíc — lichá čísla. Je tedy jasné, že přirozených čísel musí být více — obsahují přece dvakrát více čísel!

Jo, kéž by byl život tak jednoduchý!

Nás přece nezajímá, jestli jedna množina čísel obsahuje nějaká čísla navíc. Nás zajímá, jestli čísla ze dvou různých množin dokážeme nějak spárovat. Jsme schopni spárovat každé sudé číslo s každým přirozeným číslem? Přestože přirozených čísel je více? Ale jo, umíme to.

Každé přirozené číslo p můžeme jednoduše spárovat se sudým číslem 2 · p a naopak — každé sudé číslo n můžeme spárovat s přirozeným číslem n / 2. Takže přirozené číslo 5 spárujeme se sudým číslem 10 a sudé číslo 14 spárujeme s přirozeným číslem 7 atd. Párování pro prvních několik čísel ukazuje následující animace:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50

Najednou máme pro každé přirozené číslo nějaké unikátní sudé číslo a pro každé sudé číslo máme unikátní přirozené číslo! Co na tom, že přirozených čísel je více. Obou čísel je nekonečně mnoho a nikdy nám nedojdou. Z našeho pohledu je tedy množina sudých čísel stejně velká jako množina celých čísel! 😱

Je to trochu neintuitivní, ale je to tak.

Je více přirozených čísel, nebo racionálních?

Racionální čísla jsou zlomky. Všechna čísla, která lze zapsat v podobě p/q kde p a q jsou celá čísla, jsou racionální čísla. Například ½, ¾ nebo 8 jsou racionální čísla, ale π už racionální číslo není. Racionálních čísel je mnohem více než přirozených. Například mezi čísly 2 a 4 existuje jediné celé číslo a to číslo 3, ale nekonečně mnoho racionálních čísel. Ono je nekonečně mnoho racionálních čísel i mezi čísly 0,001 a 0,002. Tak moc racionálních čísel je!

Člověk by tedy čekal, že množina racionálních čísel musí být větší než množina přirozených čísel. Ale zároveň všichni tak nějak tušíme, že v tom bude nějaký háček. No dobře, pojďme zkusit spárovat racionální čísla s čísly přirozenými. Začneme tím, že si napíšeme racionální čísla do takové tabulky:

1⁄1
1⁄2
1⁄3
1⁄4
1⁄5
1⁄6
2⁄1
2⁄2
2⁄3
2⁄4
2⁄5
2⁄6
3⁄1
3⁄2
3⁄3
3⁄4
3⁄5
3⁄6
4⁄1
4⁄2
4⁄3
4⁄4
4⁄5
4⁄6
5⁄1
5⁄2
5⁄3
5⁄4
5⁄5
5⁄6
6⁄1
6⁄2
6⁄3
6⁄4
6⁄5
6⁄6

Vzor by měl být jasný: všechny zlomky v prvním řádku mají ve jmenovateli (nad zlomkovou čarou) jedničku a v čitateli postupně rostoucí čísla 1, 2, 3 atd. Ve sloupci je to pak naopak. Pokud bychom pokračovali do nekonečna, měli bychom v této tabulce všechny existující zlomky. Například zlomek 1478/517 se nachází na řádku 1478 a ve sloupci 517. Zkusme teď vytvořit naši párovací funkci. Mohli bychom ji vytvořit takto:

  • Přirozené číslo 1 spárujeme s prvním zlomkem v prvním řádku, tj. s 1/1
  • Přirozené číslo 2 spárujeme s druhým zlomkem v prvním řádku, tj. s 1/2
  • Přirozené číslo 3 spárujeme s třetím zlomkem v prvním řádku, tj. s 1/3
  • Přirozené číslo 4 spárujeme se čtvrtým zlomkem v prvním řádku, tj. s 1/4
  • …

Dokázali jsme takto spárovat všechna přirozená čísla? No ano. Každé přirozené číslo má svůj protějšek. Přirozené číslo 174 má za protějšek zlomek 1/174. Ale platí to i opačně? Má každý zlomek svůj protějšek v přirozených číslech? Jaký protějšek má zlomek 2/3? Žádný, protože jsme se s naší párovací funkcí nikdy nedostali do druhého řádku. Dokázali jsme spárovat pouze první řádek zlomků.

Znamená to, že racionálních čísel je více než přirozených? Bohužel ne — to, že nám nefunguje jedna párovací strategie neznamená, že nebude fungovat jiná. Zkusme to tentokrát vzít po diagonálách:

1⁄1
1⁄2
1⁄3
1⁄4
1⁄5
1⁄6
2⁄1
2⁄2
2⁄3
2⁄4
2⁄5
2⁄6
3⁄1
3⁄2
3⁄3
3⁄4
3⁄5
3⁄6
4⁄1
4⁄2
4⁄3
4⁄4
4⁄5
4⁄6
5⁄1
5⁄2
5⁄3
5⁄4
5⁄5
5⁄6
6⁄1
6⁄2
6⁄3
6⁄4
6⁄5
6⁄6
  • Přirozené číslo 1 spárujeme se zlomkem 1/1 (první diagonála),
  • přirozené číslo 2 spárujeme se zlomkem 1/2 (druhá diagonála),
  • přirozené číslo 3 spárujeme se zlomkem 2/1 (druhá diagonála),
  • přirozené číslo 4 spárujeme se zlomkem 1/3 (třetí diagonála),
  • přirozené číslo 5 spárujeme se zlomkem 2/2 (třetí diagonála),
  • přirozené číslo 6 spárujeme se zlomkem 3/1 (třetí diagonála),
  • atd.

Můžete si párovací strategie prohlédnout na animaci:

1⁄1
1
1⁄2
2
1⁄3
4
1⁄4
7
1⁄5
11
1⁄6
16
2⁄1
3
2⁄2
5
2⁄3
8
2⁄4
12
2⁄5
17
2⁄6
 
3⁄1
6
3⁄2
9
3⁄3
13
3⁄4
18
3⁄5
 
3⁄6
 
4⁄1
10
4⁄2
14
4⁄3
19
4⁄4
 
4⁄5
 
4⁄6
 
5⁄1
15
5⁄2
20
5⁄3
 
5⁄4
 
5⁄5
 
5⁄6
 
6⁄1
21
6⁄2
 
6⁄3
 
6⁄4
 
6⁄5
 
6⁄6
 

Takto můžeme pokrýt všechny zlomky. Žádná diagonála není nekonečná, takže v žádné diagonále nezahučíme „navždy“. Nakonec každý zlomek bude mít přiřazené nějaké přirozené číslo a samozřejmě každé přirozené číslo bude mít přiřazený nějaký unikátní zlomek.

No… Vlastně ne tak úplně. Když se znovu podíváme na naši tabulku se zlomky, zjistíme, že se tam mnoho čísel opakuje. Například zlomky 1/1, 2/2, 3/3 atd. reprezentují stejné číslo — číslo 1. Stejně tak zlomky 1/2, 4/2 a 6/3 reprezentují jednu polovinu. Ve skutečnosti tak přirozená čísla 1, 5, 13 atd. mapujeme na stejné racionální číslo 1! Máme několik ženichů, kteří si berou stejnou nevěstu. To by nešlo!

Naštěstí to můžeme jednoduše opravit. Zkrátka z naší tabulky vyškrtneme všechny zlomky, které nejsou v základním tvaru, tj. vyškrtneme všechny zlomky, které lze pokrátit. Po tomto vyškrtnutí nám v tabulce zůstanou pouze unikátní racionální čísla a naše finta s diagonály bude fungovat. Každé přirozené číslo bude spárováno s unikátní přirozeným číslem a naopak.

Což ale znamená, že množina přirozených čísel je stejně velká jako množina racionálních čísel!

Zatím to vypadá, že všechny nekonečné množiny jsou stejně velké. Existuje nějaká nekonečná množina, která je větší než množina přirozených čísel?

Je více přirozených čísel, nebo reálných?

Do hry vstupuje naše poslední záchrana: reálná čísla. Žádná jiná čísla už na reálné ose nemáme. Jak vypadají reálná čísla? Reálná čísla v sobě obsahují všechna racionální čísla a k tomu navíc všechna iracionální. Pokud napíšeme číslo v desetinném zápise, pak platí, že racionální číslo:

  • má buď konečný desetinný rozvoj, např. 0,4841554,
  • nebo má nekonečný periodický rozvoj: 0,1313131313…

Iracionální čísla naopak má vždy nekonečný desetinný rozvoj a zároveň není periodický. Iracionální číslo je třeba číslo π, které se rovná 3.141592653… (žádná perioda). Pojďme si rovnou dopředu říci, že reálných čísel je mnohem více než racionálních čísel a tedy než přirozených čísel. Množina reálných čísel je větší než množina přirozených čísel. A jak to dokážeme?

Představte si, že jsme našli nějakou párovací strategii jak spárovat všechny přirozená a všechna reálná čísla. Dejme tomu, že je to tahle:

1 → 0.3452807674449021…
2 → 0.8978319745321683…
3 → 0.8972169570849831…
4 → 0.0635759905832629…
5 → 0.0081863365749335…
6 → 0.4000559394278442…
7 → 0.8637537627594889…
…

Předpokládejme, že nalevo máme všechna přirozená čísla a napravo všechna reálná. Pokud by to byla pravda, nedokázali bychom najít žádné reálné číslo, které by na pravé straně chybělo. Protože už jsme si vyspoilerovali, že množina reálných čísel je větší, tak to znamená, že nám na pravé straně nějaké číslo chybí. No jo, ale jaké? Tak třeba vidíme, že tam chybí číslo 0.4818063607183678. Ale co když se zrovna schovává pod číslem 8?

1 → 0.3452807674449021…
2 → 0.8978319745321683…
3 → 0.8972169570849831…
4 → 0.0635759905832629…
5 → 0.0081863365749335…
6 → 0.4000559394278442…
7 → 0.8637537627594889…
8 → 0.4818063607183678
…

A co číslo 0.4208424736008147? To tam také nevidíme. Ale co když se zrovna schovává pod číslem devět?

1 → 0.3452807674449021…
2 → 0.8978319745321683…
3 → 0.8972169570849831…
4 → 0.0635759905832629…
5 → 0.0081863365749335…
6 → 0.4000559394278442…
7 → 0.8637537627594889…
8 → 0.4818063607183678
9 → 0.4208424736008147
…

Takhle to nepůjde. Protože samozřejmě nemůžeme vypsat všechny dvojice, protože jich je nekonečně mnoho, nemůžeme jen tak tipovat, jestli tam náhodou tohle číslo je, nebo není. Potřebovali bychom najít číslo, které se liší od všech číslech napravo v tabulce, přestože nevíme jaká všechny čísla napravo jsou. Jak to dokážeme?

Aby se dvě čísla lišila, stačí, když se budou lišit v jedné číslici. Například čísla 0,123456 a 0,123457 nejsou stejná — ale liší se jen v jedné číslici. To nám stačí. Můžeme si tak v naší tabulce vždy u n-tého reálného čísla zvýraznit n-tou číslici za desetinnou čárkou:

1 → 0.3452807674449021…
2 → 0.8978319745321683…
3 → 0.8972169570849831…
4 → 0.0635759905832629…
5 → 0.0081863365749335…
6 → 0.4000559394278442…
7 → 0.8637537627594889…
8 → 0.4818063607183678
9 → 0.4208424736008147
…

a nové číslo poskládáme tak, aby se v n-té číslici za desetinnou čárkou lišilo od n-té číslice n-tého reálného čísla. Nové číslo tedy sestrojíme tak, že začneme nulou: 0,??? a první číslici za desetinnou čárkou zvolíme tak, aby se lišila od první číslice prvního reálného čísla, tedy aby se lišila od trojky. Napíšeme třeba 0,1???. Druhá číslice musí být různá od druhé číslice druhého reálného čísla, tedy musí být různá od 9. Napíšeme třeba dvojku: 0,12???. Atd. Prvních devět číslic by tedy mohlo vypadat takto 0.123123127 (viz poslední řádek tabulky):

1 → 0.3452807674449021…
2 → 0.8978319745321683…
3 → 0.8972169570849831…
4 → 0.0635759905832629…
5 → 0.0081863365749335…
6 → 0.4000559394278442…
7 → 0.8637537627594889…
8 → 0.4818063607183678
9 → 0.4208424736008147
? → 0.123123127

Vidíme, že toto číslo je různé od všech čísel, protože od všech čísel se vždy liší alespoň v jedné číslici. Přestože naše tabulka obsahuje nekonečné množství čísel, naše nové číslo je tvořeno nekonečně mnoho číslicemi tak, že se od všech číslech v tabulce liší alespoň v jedné číslici. A všimněte si, že můžeme sestrojit nekonečně mnoho čísel, které v tabulce nejsou! Co z toho vyplývá? Nejsme schopni spárovat přirozená čísla s reálnými čísly. Vždy nám zůstane nekonečně mnoho reálných čísel, která nebudou spárována s žádnými přirozenými čísly. Reálných čísel je mnohem více než přirozených čísel.

Poznámky na konec

  • Celý článek jsme v rámci jednoduchosti ignorovali záporná čísla. Ta ale samozřejmě nic na věci nemění a za domácí úkol si můžete zde zmíněné párovací strategie upravit tak, aby fungovaly i se zápornými čísly.
  • Velikost množiny přirozených čísel má dokonce svůj název. Říkáme mu Alef-nula.
  • V matematice pak často používáme pojem kardinalita či mohutnost množiny namísto „velikost množiny“.