Kvadratické rovnice v oboru komplexních čísel

Pokud vám při řešení kvadratické rovnice vyjde záporný diskriminant, znamená to, že rovnice nemá v oboru reálných čísel řešení. Nicméně tato rovnice má vždy řešení v oboru komplexních čísel.

Motivace

Zkusme vyřešit následující kvadratickou rovnici: x² + 2x + 5 = 0. Jako první spočítáme diskriminant: D = 4 − 20 = −16. Jak už víme, tato rovnice nemá v oboru reálných čísel řešení. Komplexní čísla mají ale tu výhodu, že nám umožňují odmocnit i záporné číslo. Protože platí, že i² = −1, můžeme náš diskriminant přepsat do podoby −16 = 16i². Toto číslo už můžeme odmocnit a dostaneme 4i. Dopočítáme řešení kvadratické rovnice:

$$x_1=\frac{-2+\sqrt{16i^2}}{2}=\frac{-2+4i}{2}=\frac{2(-1+2i)}{2}=2i-1.$$

$$x_2=\frac{-2-\sqrt{16i^2}}{2}=\frac{-2-4i}{2}=\frac{2(-1-2i)}{2}=-2i-1.$$

Vzorce a vztahy

Z předchozího příkladu můžeme odvodit vzorec na výpočet kořenů kvadratické rovnice, pokud je diskriminant záporný:

$$x_{1{,}2}=\frac{-b\pm i\sqrt{|D|}}{2a}.$$

Z tohoto tedy plyne, že každá kvadratická rovnice má řešení. Pokud je diskriminant nezáporný, stačí nám reálná čísla, pokud je diskriminant záporný, musíme rovnici řešit v komplexních číslech. Obecně můžeme říci, že každá kvadratická rovnice má řešení v oboru komplexních čísel.

I pro tyto komplexní kořeny platí Vietovy vzorce. Nejprve odvození pro součet:

$$\begin{eqnarray} x_1+x_2&=&\frac{-b+i\sqrt{|D|}}{2a}+\frac{-b-i\sqrt{|D|}}{2a}\\ &=&\frac{-b+i\sqrt{|D|}-b-i\sqrt{|D|}}{2a}\\ &=&\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a} \end{eqnarray}$$

A pro součin. Využijeme toho, že diskriminant je záporný a protože ho potřebujeme odmocnit, budeme počítat s minus D, čímž dostaneme kladné číslo. Namísto |D| tak budeme psát −D, výsledek je stejný.

$$\begin{eqnarray} x_1\cdot x_2&=&\frac{-b+i\sqrt{-D}}{2a}\cdot\frac{-b-i\sqrt{-D}}{2a}\\ &=&\frac{b^2+b\cdot i\sqrt{-D}-b\cdot i\sqrt{-D}-(-D)i^2}{4a^2}\\ &=&\frac{b^2+Di^2}{4a^2}\\ &=&\frac{b^2-D}{4a^2}\\ &=&\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\ &=&\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a} \end{eqnarray}$$

Příklad

Vyřešte kvadratickou rovnici 2x² + 6x + 9 = 0. Spočítáme diskriminant: D = 36 − 72 = −36. Záporné číslo, takže použijeme vzorec pro komplexní kořeny a jen dosadíme:

$$x_1=\frac{-b+i\sqrt{|D|}}{2a}=\frac{-6+i\sqrt{36}}{4}=\frac{-6+6i}{4}=\frac{3(i-1)}{2}=-\frac32+\frac{3i}{2}$$

$$x_2=\frac{-b-i\sqrt{|D|}}{2a}=\ldots=-\frac32-\frac{3i}{2}$$