Diskriminant

Diskriminant je polynom, pomocí něhož můžeme vypočítat řešení obecné kvadratické rovnice, případně určit, zda rovnice má řešení a kolik takových řešení má.

Vzorec a základní vztahy

Nejprve si zopakujeme základní tvar kvadratické rovnice:

$$ax^2+bx+c=0,\quad a\ne0$$

kde a, b, c jsou reálná čísla. Diskriminant, označme ho D, vypočteme takto:

$$D=b^2-4\cdot a\cdot c$$

Příklad: mějme kvadratickou rovnici 3x² + 5x − 7 = 0. Pro tuto rovnici platí: a = 3, b = 5, c = −7. Diskriminant vypočítáme takto:

$$D=5^2-4\cdot3\cdot(-7)=25+4\cdot3\cdot7=25+84=109$$

Výsledek je tedy 109. Co nám toto číslo říká? Pokud vyjde diskriminant…

• kladný, pak má rovnice dva různé reálné kořeny,
• nulový, pak má rovnice dva stejné reálné kořeny,
• záporný, pak rovnice nemá v oboru reálných čísel žádné řešení. Nicméně má řešení v oboru komplexních čísel.

Jak vypočítat kořeny kvadratické rovnice

Pomocí diskriminantu můžeme vypočítat přímo kořeny kvadratické rovnice. Vzorec pro výpočet kořenů zní takto:

$$x_{1{,}2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a},$$

kde D je diskriminant. Celý vzorec s rozepsaným diskriminantem vypadá takto:

$$x_{1{,}2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Zkusíme si pomocí tohoto vzorce vypočítat kořeny kvadratické rovnice x² + 7x + 12 = 0. Jako první spočítáme diskriminant:

$$D=7^2-4\cdot1\cdot12=49-48=1.$$

Diskriminant vyšel kladný, rovnice tak má dva různé reálné kořeny. Spočítáme první kořen. Jako první budeme přičítat odmocninu z diskriminantu, v druhém kroku budeme odmocninu odečítat:

$$x_1=\frac{-7+\sqrt{1}}{2}=\frac{-7+1}{2}=-\frac62=-3.$$

První kořen nám vyšel −3. Druhý kořen spočítáme odečtením odmocniny:

$$x_2=\frac{-7-\sqrt{1}}{2}=\frac{-7-1}{2}=-\frac82=-4.$$

Nyní už máme oba kořeny rovnice, x₁ = −3 a x₂ = −4.

Pro zvládnutí tohoto postupu je nezbytně nutné, abyste uměli správně určit hodnoty a, b a c. Jak je správně určit bylo popsáno v prvním článku o kvadratických rovnicích.

A co toto řešení znamená graficky, jak se projeví v grafu? Pokud si nakreslíme graf funkce, která je na levé straně rovnice, pak zjistíme, že graf této kvadratické funkce protíná osu x ve dvou bodech — v bodech x₁ = −3 a x₂ = −4.

Nulový diskriminant

Pokud vyjde diskriminant nula, pak to znamená, že rovnice má řešení, ale pouze jedno; respektive dvě, ale stejné. Příklad: vyřešte rovnici x² − 10x + 25 = 0. Spočítáme diskriminant:

$$D=(-10)^2-4\cdot1\cdot25=100-100=0.$$

Kořen dopočítáme stejně jako v minulé kapitole, pomocí vzorce. Ale protože je diskriminant nulový, zmizí nám z vzorce plus/minus odmocnina z D, protože bychom přičítali/odečítali nulu.

$$x_{1{,}2}=\frac{-(-10)}{2}=\frac{10}{2}=5.$$

Vyšel nám jeden dvojnásobný kořen, x = 5. Co to znamená graficky? Že graf dané funkce se osy x dotýká v právě jednom bodě, ve svém vrcholu.

Záporný diskriminant

Pokud nám vychází diskriminant záporný, pak kvadratická rovnice nemá v oboru reálných čísel řešení. Rovnici můžeme řešit v oboru komplexních čísel, ale o tom bude až další článek. Pro příklad si zkusíme vyřešit tuto kvadratickou rovnici: x² + x + 1 = 0. Diskriminant:

$$D=1^2-4\cdot1\cdot1=1-4=-3.$$

Kvadratická rovnice tak nemá řešení v oboru reálných číslech. Můžete si to zkusit — polynom x² + x + 1 bude kladný pro všechna reálná čísla. Například pokud za x dosadíte jedničku, dostáváte: 1 + 1 + 1 = 3. Pokud x = −1, pak máme 1 − 1 + 1 = 1. Pokud x = 0, máme 0 + 0 + 1 = 1. A podobně pro další čísla. Můžete si také prohlédnout graf funkce y = x² + x + 1, nikdy neprotne osu x.

Vietovy vzorce

Už víme, jak vypočítat řešení kvadratické rovnice. Jaký je ale mezi nimi vztah? Zkusíme obě řešení x₁ a x₂ sečíst:

$$\begin{eqnarray} x_1+x_2&=&\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\\ &=&\frac{-b+\sqrt{D}-b-\sqrt{D}}{2a}\\ &=&\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a} \end{eqnarray}$$

Sečteme-li kořeny kvadratické rovnice ax² + bx + c = 0, získáme podíl −b/a. Co se stane, pokud kořeny vynásobíme?

$$\begin{eqnarray} x_1\cdot x_2&=&\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\cdot\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\\ &=&\frac{b^2+b\cdot\sqrt{D}-b\cdot\sqrt{D}-D}{4a^2}\\ &=&\frac{b^2-D}{4a^2}\\ &=&\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\ &=&\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a} \end{eqnarray}$$

Takže pokud kořeny vynásobíme, získáme číslo c/a. A toto jsou Vietovy vzorce. Ještě jednou pohromadě:

$$\begin{eqnarray} x_1+x_2&=&-\frac{b}{a}\\ x_1\cdot x_2&=&\frac{c}{a} \end{eqnarray}$$

Všimněte si, že ve jmenovateli zlomku je vždy výraz a. Speciálním případem je pak kvadratická rovnice, pro kterou platí a = 1. Pak můžeme Vietovy vzorce napsat takto:

$$\begin{eqnarray} \mbox{pokud } a=1:\\ x_1+x_2&=&-b\\ x_1\cdot x_2&=&c \end{eqnarray}$$

Toho můžeme využít při hledání řešení kvadratických rovnic. Než abychom složitě počítali diskriminant, můžeme se podívat, jestli jsme schopni nalézt taková čísla x₁ a x₂, aby platily výše uvedené vztahy. Příklad: nalezněte řešení rovnice x² + 8x + 15 = 0. Platí, že a = 1, takže můžeme použít jednodušší Vietovy vzorce. Hledáme čísla x₁ a x₂ tak, aby platilo:

$$\begin{eqnarray} x_1+x_2&=&-8\\ x_1\cdot x_2&=&15 \end{eqnarray}$$

Pokud se omezíme jen na celá čísla, tak máme celkem čtyři možnosti, jak při součinu dostat 15:

$$\begin{eqnarray} 1\cdot15&=&15\\ 3\cdot5&=&15\\ -3\cdot(-5)&=&15\\ -1\cdot(-15)&=&15 \end{eqnarray}$$

Nyní potřebujeme, aby nám součet čísel na pravé straně dal −8. Pouze jediná dvojice takový součet dá, a to −3 a −5. Tato čísla jsou tak řešením kvadratické rovnice. Můžeme si je zkusit dosadit do rovnice, musí nám vyjít nula:

$$\begin{eqnarray} (x=-3):\quad &&(-3)^2-8\cdot3+15=9-24+15=0\\ (x=-5):\quad &&(-5)^2-8\cdot5+15=25-40+15=0 \end{eqnarray}$$

Sedí. Pokud znáte kořeny, můžete také rovnici zapsat v čitelnějším tvaru. Jsou-li x₁ a x₂ kořeny rovnice ax² + bx + c = 0, pak pokud a = 1, můžete rovnici přepsat do tvaru

$$(x-x_1)(x-x_2)=0.$$

Předchozí rovnici tak můžeme přepsat do tvaru:

$$(x-(-3))(x-(-5))=(x+3)(x+5)=0.$$

Odkazy

• Odvození diskriminantu a vzorce pro výpočet kořenů kvadratické rovnice