Lineární rovnice s absolutní hodnotou

Absolutní hodnota je funkce, která nezmění nezáporné číslo a ze záporného čísla udělá kladné. Absolutní hodnota se může vyskytnout při řešení lineárních rovnic.

Opakování

Připomeňme si, jak se absolutní hodnota počítá a zapisuje. Výraz v absolutní hodnotě zapisujeme pomocí svislítek takto: |a|. Říkáme „absolutní hodnota z čísla a“. Platí pak, že absolutní hodnota nezáporného čísla je totéž číslo. Příklady: |3| = 3, |64| = 64, |π| = π. Nicméně absolutní hodnota záporného čísla je kladné číslo: $|-7|=7, |-\pi|=\pi, |-\frac12|=\frac12$. Absolutní hodnota z nuly je nula.

Jednoduchý příklad

Příkladem jednoduché lineární funkce s absolutní hodnotou je rovnice: |x| = 3. Otázkou nyní je, kdy nám absolutní hodnota vrátí jako výsledek tři? Budou to dvě x — jedno kladné a druhé záporné; rovnice tak má dvě řešení. První je rovno x₁ = 3, protože |3| = 3. Druhé řešení je rovno x₂ = −3, protože |−3| = 3.

Zkusme rovnici modifikovat a ztížit. |2x + 1| = 5 Uvnitř absolutní hodnoty už máme složitější výraz. Můžeme ale postupovat úplně stejně jako před chvílí. Jaká čísla jsou v absolutní hodnotě rovna pěti? Opět 5 a −5. Co z toho plyne? Že vnitřek absolutní hodnoty, tj. výraz 2x + 1, musí být roven pěti nebo minus pěti. Jedině pak má rovnice řešení. Takže řešíme rovnici 2x + 1 = 5 a 2x + 1 = −5. Rovnice řešíme jako klasické lineární rovnice. Vychází nám:

$$\begin{eqnarray} 2x+1&=&5\\ 2x&=&4\\ x&=&2 \end{eqnarray}$$

A druhý výsledek:

$$\begin{eqnarray} 2x+1&=&-5\\ 2x&=&-6\\ x&=&-3 \end{eqnarray}$$

Máme tak dva výsledky: x₁ = 2 a x₂ = −3. Můžeme je zkusit dosadit do původní rovnice. V případě x = 2 získáme: |2 · 2 + 1| = |4 + 1| = |5| = 5 a v případě x = −3 máme: |2 · (−3)+1| = |−6 + 1| = |−5| = 5.

Odstranění absolutní hodnoty

Předchozí postup je ale těžko aplikovatelný v případě, kdy máte složitější rovnici. Například tuto:

$$|4x+2|+|x-1|=6$$

Tady už máme dva výrazy v absolutní hodnotě a tak musíme zvolit jiný postup. Nejprve trochu jednodušší příklad: co bude platit pro výraz |x − 2|, pokud budeme brát x z intervalu (2, ∞)? Výraz v absolutní hodnotě bude vždy kladný. Pokud dosadíme například trojku, získáme: 3 − 2 = 1. Pokud dosadíme desítku, máme: 10 − 2 = 8 atd. Pro jakékoliv číslo z tohoto intervalu je výraz v absolutní hodnotě kladný. Jak nám pak s hodnotou zahýbá absolutní hodnota? Vůbec nijak. To je důležité zjištění. Pokud je výraz pod absolutní hodnotou vždy kladný, pak můžeme absolutní hodnotu odstranit — je tam zbytečná. Pokud bereme x z intervalu (2, ∞), pak platí rovnost |x − 2| = x − 2 (tj. odstranili jsme absolutní hodnotu).

A teď opačný příklad — co když budeme brát x z intervalu (−∞, 2)? Jaká bude hodnota výrazu v absolutní hodnotě, tj. hodnota výrazu x − 2? Bude vždy záporná! Zkusíme dosazením jedničky: 1 − 2 = −1 nebo nuly: 0 − 2 = −2. Co nám s touto hodnotou udělá absolutní hodnota? Převrátí ji do kladné podoby, změní znaménko. Změnu znaménko můžeme provést násobením minus jedničkou, protože platí, že 5 · (−1) = −5, ale také −7 · (−1) = 7 a −15 · (−1) = 15.

Takže pokud bereme x z intervalu (−∞, 2), pak bude výraz v absolutní hodnotě vždy záporný a absolutní hodnota tak zafunguje a změní výrazu znaménko — vynásobí ho −1. Můžeme tak napsat, pro x z (−∞, 2) platí rovnost: |x − 2| = −(x − 2). Zkusíme si tam dosadit například nulu. Nejprve do výraz s absolutní hodnotou: |0 − 2| = |−2| = 2 a nyní do pravé strany: −(0 − 2) = −(−2) = 2.

Jak je vidět, podobné intervaly nám umožní rozdělit výraz s absolutní hodnotou na dva různé výrazy, které můžeme řešit zcela odděleně. To je výhodné. Otázkou nyní zůstává, jak tyto intervaly hledat?

Metoda nulových bodů

Kdy výraz x − 2 měnil znaménko? Z předchozí části víme, že v celém intervalu (−∞, 2) je výraz záporný a v celém intervalu (2, ∞) je kladný. Jaký je v bodě x = 2? Dosazením zjistíme, že 2 − 2 = 0 nulový. To není náhoda. Důvod je nejlépe vidět na grafu lineární funkce:

Grafem lienární funkce je přímka, ta může protnout osu x pouze jednou a v případě, kdy protne osu x, tak změní své znaménko. Proto platí, že pokud lineární funkce protne osu x v bodě a, pak bude mít v intervalu (−∞, a) jiné znaménko než v intervalu (a, ∞).

Proto, pokud hledáme intervaly, kdy je lineární funkce kladná a kdy záporná, stačí nám najít tzv. nulový bod, tj. bod x₀, pro který má lineární funkce f funkční hodnotu nula: f(x₀) = 0. Takže pokud hledáme intervaly, kdy je výraz x − 2 kladný, jako první vyřešíme rovnici x − 2 = 0. Řešením je x = 2. Pak můžeme vytvořit intervaly: (−∞, 2) a (2, ∞). V těchto intervalech pak dále řešíme rovnici, ale už s odstraněnou absolutní hodnotou.

Konečně zpět k příkladu…

Před mnoha řádky jsme si definovali příklad:

$$|4x+2|+|x-1|=6$$

Jak ho vyřešíme? Nejprve nalezneme nulové body každého výrazu pod absolutní hodnotou, tj. pro výraz 4x + 2 a x − 1. Výraz 4x + 2 má nulový bod $x=-\frac12$ a výraz x − 1 má nulový bod x = 1. Protože máme dva nulové body, budeme mít celkem tři intervaly. Každý nulový bod nám nějak rozdělí interval (−∞, ∞). Takže celkem dostáváme intervaly $(-\infty, -\frac12)$, $\left<-\frac12, 1\right>$ a (1, ∞). Intervaly vždy vybíráme tak, ať pokryjeme celý interval (−∞, ∞).

V dalším kroku musíme zjistit, zda jsou výrazy v daných intervalech kladné nebo záporné. K tomu nám poslouží tabulka:

$$ \Large \begin{matrix} x&(-\infty, -\frac12)&\left<-\frac12, 1\right>&(1, \infty)\\\hline 4x+2&-&+&+\\ x-1&-&-&+ \end{matrix} $$

Značka minus − značí, je výraz v daném intervalu záporný, značka plus + značí, že je kladný. Jak jsme na to přišli? Dosadili jsme libovolné číslo z intervalu. Například v prostředním intervalu jsme mohli dosazovat nulu, což je početně nejjednodušší. Pak u výrazu 4x + 2 dostáváme 4 · 0 + 2 = 2 a u x + 1 máme 0 − 1 = −1.

Tip: pokud je v prvním intervalu výraz záporný a v dalším kladný, v každém případném dalším intervalu bude výraz opět kladný. Lineární funkce nemůže dvakrát změnit znaménko, viz obrázek nahoře s grafem lineární funkce.

V tuto chvíli víme, v kterých intervalech jsou jaké výrazy kladné nebo záporné. Náš další výpočet se musí rozdělit do třech kroků, musíme zvlášť řešit v každém intervalu.

První interval, tj. x bereme z $(-\infty, -\frac12)$. V tomto intervalu jsou oba výrazy záporné, takže pokud chceme odstranit absolutní hodnotu, musí oba výrazy změnit znaménko. V tomto intervalu tak řešíme rovnici:

$$-(4x+2)-(x-1)=6$$

Tuto rovnici jen jednoduše vyřešíme pomocí ekvivalentních úprav:

$$\begin{eqnarray} -(4x+2)-(x-1)&=&6\\ -4x-2-x+1&=&6\\ -5x-1&=&6\\ -5x&=&7\\ x&=&-\frac{7}{5} \end{eqnarray}$$

Pozor na to, že musíme zkontrolovat, jestli je řešení z intervalu, ve kterém se pohybujeme. My totiž nyní předpokládáme, že x bereme z intervalu $(-\infty, -\frac12)$, takže pokud by nám vyšlo řešení, které není z toho intervalu, tak ho nemůžeme použít. Minus sedm pětin se nachází v intervalu $(-\infty, -\frac12)$, takže toto je platné řešení rovnice.

Druhý interval, tj. x bereme z $\left<-\frac12, 1\right>$. V tomto intervalu je výraz 4x + 2 kladný a výraz x − 1 stále záporný. Řešíme tak rovnici

$$4x+2-(x-1)=6$$

Opět jednoduše upravíme:

$$\begin{eqnarray} 4x+2-(x-1)&=&6\\ 4x+2-x+1&=&6\\ 3x+3&=&6\\ 3x&=&3\\ x&=&1 \end{eqnarray}$$

Je řešení z intervalu, ve kterém pracujeme? Ano, je. Nalezli jsme další řešení lineární rovnice.

Třetí interval, tj. interval (1, ∞). V tomto intervalu jsou oba výrazy kladné, takže můžeme absolutní hodnotu odstranit bez další změny. Řešíme tak rovnici:

$$4x+2+x-1=6$$

Tuto rovnici lehce vyřešíme:

$$\begin{eqnarray} 4x+2+x-1=6\\ 5x+1=6\\ 5x=5\\ x=1 \end{eqnarray}$$

Dostali jsme další výsledek, stejný jako v předchozím intervalu. Nicméně je toto platné řešení pro interval, ve kterém se pohybujeme? Není! Pohybujeme se v otevřeném intervalu (1, ∞), jednička není součástí tohoto intervalu, takže toto nalezené řešení v tomto třetím kroku nemůžeme počítat mezi platná řešení.

Lineární rovnice s absolutní hodnotou má dvě řešení, $K=\left\{-\frac75, 1\right\}$.

Grafické řešení

Stejně jako klasická lineární rovnice, i tato lze řešit graficky. Nalevo máme funkci f(x) = |4x + 2|+|x − 1| a napravo g(x) = 6. Necháme si vykreslit tyto dva grafy — protnou se ve dvou bodech. x-ové souřadnice těchto bodů jsou řešením rovnice.

Množina řešení K tak obsahuje body $K=\left\{-\frac75, 1\right\}$.