Matice přechodu

Kapitoly: Vektorové prostory, Příklady vektorových prostorů, Vektorový podprostor, Lineární kombinace vektorů, Lineární obal, Báze vektorového prostoru, Dimenze vektorového prostoru, Matice přechodu

Máme-li vektorový prostor V a dvě jeho báze, můžeme jeden vektor z prostoru vyjádřit jako kombinace vektorů z obou bází. Matice přechodu nám pak pomáhá převádět jedno vyjádření na druhé.

Motivace

Mějme n-rozměrný vektorový prostor V a dvě jeho různé báze E = {e1, …, en} a F = {f1, …, fn}. Dále zvolme nějaký vektor x z V. Protože x je z prostoru V a protože E i F jsou báze tohoto prostoru, tak musí platit, že existují koeficienty a1, …, an takové, že:

$$ \mathbf{x} = a_1 \cdot \mathbf{e}_1 + \ldots + a_n \cdot \mathbf{e}_n $$

a zároveň musí existovat koeficienty b1, …, bn takové, že:

$$ \mathbf{x} = b_1 \cdot \mathbf{f}_1 + \ldots + b_n \cdot \mathbf{f}_n $$

V prvním případě vyjadřujeme vektor x pomocí báze E, ve druhém případě pomocí báze F. Používáme dvě různé báze na vyjádření x, získáme tak zároveň dvě různé sady koeficientů ai a bi. Vyvstává otázka: pokud známe koeficienty ai, existuje nějaký způsob, jak z těchto koeficientů získat koeficienty bi, tj. vyjádření vzhledem k druhé bázi?

Ano, slouží k tomu tzv. matice přechodu.

Jak získat matici přechodu

Zůstaneme u toho, že máme prostor V a dvě báze E = {e1, …, en} a F = {f1, …, fn}. Protože E je báze prostoru V, jak jistě i všechny vektory f1, …, fn půjdou vyjádřit jako lineární kombinace vektorů z báze E. Vektory f1, …, fn jsou sice součástí báze F, ale zároveň jsou běžnými prvky prostoru V, takže musí platit:

$$\begin{eqnarray} \mathbf{f}1 &=& a{11} \cdot \mathbf{e}1 + a{21} \cdot \mathbf{e}2 + \ldots + a{n1} \cdot \mathbf{e}_n\\ \mathbf{f}2 &=& a{12} \cdot \mathbf{e}1 + a{22} \cdot \mathbf{e}2 + \ldots + a{n2} \cdot \mathbf{e}_n\\ &\ldots&\\ \mathbf{f}n &=& a{1n} \cdot \mathbf{e}1 + a{2n} \cdot \mathbf{e}2 + \ldots + a{nn} \cdot \mathbf{e}_n\\ \end{eqnarray}$$

My nyní tyto rovnice přepíšeme do matice tak, že v prvním sloupci matice budou všechny koeficienty a1i, ve druhém všechny a2i apod. Dostaneme matici:

$$P=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{21}&\ldots&a_{n1}\\ a_{12}&a_{22}&\ldots&a_{n2}\\ \ldots\\ a_{1n}&a_{2n}&\ldots&a_{nn}\\ \end{pmatrix}$$

Taková matice se pak nazývá matice přechodu od báze E k bázi F. Pokud máme vektor x = {x1, …, xn} z V, který má vzhledem k bázi F koeficienty b1, …, bn, pak koeficienty a1, …, an vzhledem k bázi E získáme

$$ \begin{pmatrix} a_1\\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} P\cdot \begin{pmatrix} b_1\\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} $$

Příklad

Budeme pracovat nad vektorovým prostorem 3. Zvolíme jednu standardní bázi E = {[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]} a druhou bázi F = {[2, 0, 0], [3, 2, 0], [1, 5, 4]}. Matice přechodu z báze E k bázi F bude mít tvar

$$P=\begin{pmatrix} 2&3&1\\ 0&2&5\\ 0&0&4 \end{pmatrix}$$

Nyní zvolíme libovolný vektor x∈ ℝ3, například x = [12, 41, 28]. Ten má koeficienty vzhledem k bázi F a1 = −2, a2 = 3, a3 = 7. Provedeme tak součin matic:

$$ \begin{pmatrix} 2&3&1\\ 0&2&5\\ 0&0&4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2\\ 3\\ 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 12\\ 41\\ 28 \end{pmatrix} $$

Vzhledem k bázi E má vektor x koeficienty a1 = 12, a2 = 41, a3 = 28. Tedy platí:

$$ \left[12,41,28\right] = 12\cdot\left[1,0,0\right]+41\cdot\left[0,1,0\right]+28\cdot\left[0,0,1\right] $$

Odkazy a zdroje