Matice přechodu
Kapitoly: Vektorové prostory, Příklady vektorových prostorů, Vektorový podprostor, Lineární kombinace vektorů, Lineární obal, Báze vektorového prostoru, Dimenze vektorového prostoru, Matice přechodu
Máme-li vektorový prostor V a dvě jeho báze, můžeme jeden vektor z prostoru vyjádřit jako kombinace vektorů z obou bází. Matice přechodu nám pak pomáhá převádět jedno vyjádření na druhé.
Motivace
Mějme n-rozměrný vektorový prostor V a dvě jeho různé báze E = {e1, …, en} a F = {f1, …, fn}. Dále zvolme nějaký vektor x z V. Protože x je z prostoru V a protože E i F jsou báze tohoto prostoru, tak musí platit, že existují koeficienty a1, …, an takové, že:
$$ \mathbf{x} = a_1 \cdot \mathbf{e}_1 + \ldots + a_n \cdot \mathbf{e}_n $$
a zároveň musí existovat koeficienty b1, …, bn takové, že:
$$ \mathbf{x} = b_1 \cdot \mathbf{f}_1 + \ldots + b_n \cdot \mathbf{f}_n $$
V prvním případě vyjadřujeme vektor x pomocí báze E, ve druhém případě pomocí báze F. Používáme dvě různé báze na vyjádření x, získáme tak zároveň dvě různé sady koeficientů ai a bi. Vyvstává otázka: pokud známe koeficienty ai, existuje nějaký způsob, jak z těchto koeficientů získat koeficienty bi, tj. vyjádření vzhledem k druhé bázi?
Ano, slouží k tomu tzv. matice přechodu.
Jak získat matici přechodu
Zůstaneme u toho, že máme prostor V a dvě báze E = {e1, …, en} a F = {f1, …, fn}. Protože E je báze prostoru V, jak jistě i všechny vektory f1, …, fn půjdou vyjádřit jako lineární kombinace vektorů z báze E. Vektory f1, …, fn jsou sice součástí báze F, ale zároveň jsou běžnými prvky prostoru V, takže musí platit:
$$\begin{eqnarray} \mathbf{f}_1 &=& a_{11} \cdot \mathbf{e}_1 + a_{21} \cdot \mathbf{e}_2 + \ldots + a_{n1} \cdot \mathbf{e}_n\\ \mathbf{f}_2 &=& a_{12} \cdot \mathbf{e}_1 + a_{22} \cdot \mathbf{e}_2 + \ldots + a_{n2} \cdot \mathbf{e}_n\\ &\ldots&\\ \mathbf{f}_n &=& a_{1n} \cdot \mathbf{e}_1 + a_{2n} \cdot \mathbf{e}_2 + \ldots + a_{nn} \cdot \mathbf{e}_n \end{eqnarray}$$
My nyní tyto rovnice přepíšeme do matice tak, že v prvním sloupci matice budou všechny koeficienty a1i, ve druhém všechny a2i apod. Dostaneme matici:
$$P=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{21}&\ldots&a_{n1}\\ a_{12}&a_{22}&\ldots&a_{n2}\\ \ldots\\ a_{1n}&a_{2n}&\ldots&a_{nn}\\ \end{pmatrix}$$
Taková matice se pak nazývá matice přechodu od báze E k bázi F. Pokud máme vektor x = {x1,…, xn} z V, který má vzhledem k bázi F koeficienty b1, …, bn, pak koeficienty a1, …, an vzhledem k bázi E získáme
$$ \begin{pmatrix} a_1\\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} P\cdot \begin{pmatrix} b_1\\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} $$Příklad
Budeme pracovat nad vektorovým prostorem ℝ3. Zvolíme jednu standardní bázi E = {[1,0,0], [0,1,0], [0,0,1]} a druhou bázi F = {[2,0,0], [3,2,0], [1,5,4]}. Matice přechodu z báze E k bázi F bude mít tvar
$$P=\begin{pmatrix} 2&3&1\\ 0&2&5\\ 0&0&4 \end{pmatrix}$$
Nyní zvolíme libovolný vektor x∈ ℝ3, například x = [12,41,28]. Ten má koeficienty vzhledem k bázi F a1 = −2, a2 = 3, a3 = 7. Provedeme tak součin matic:
$$ \begin{pmatrix} 2&3&1\\ 0&2&5\\ 0&0&4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2\\ 3\\ 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 12\\ 41\\ 28 \end{pmatrix} $$Vzhledem k bázi E má vektor x koeficienty a1 = 12, a2 = 41, a3 = 28. Tedy platí:
$$ \left[12{,}41,28\right] = 12\cdot\left[1{,}0,0\right]+41\cdot\left[0{,}1,0\right]+28\cdot\left[0{,}0,1\right] $$