Maturita 2013: Ilustrační test

Zadání a vypracovaná řešení ilustračního maturitního testu z roku 2013. Testy jsou po formální i obsahové stránce plnohodnotnými maturitními testy.

1. úloha

Plocha kruhu je o 20 % menší, než je plocha čtverce. Vyjádřete, o kolik procent je plocha čtverce větší, než je plocha kruhu.

Řešení: Nenechte se zmást plochami kruhů a čtverců, stačí vám jen znát, že něco je o 20 % menší než něco jiného, žádné vzorce na výpočet obsahu nepotřebujete. Můžeme si to představit tak, že plocha čtverce je 100 (nějakých jednotek) a plocha kruhu je o 20 % menší — 20 % ze sta je 20, takže plocha kruhu bude 80. Nyní musíme opačně vypočítat, o kolik procent je větší plocha čtverce. Řešíme tak rovnici

$$ 80\cdot x = 100 $$

což se triviálně rovná:

\begin{eqnarray} 80\cdot x &=& 100\\ x &=& \frac{100}{80}\\ x &=& \frac{5}{4} = 1,25 \end{eqnarray}

Hodnota 100 tak představuje 125 % hodnoty 80, což znamená, že hodnota 100 je o 25 % větší než hodnota 80.

2. úloha

Odečtěte:

$$ 3x^{102}\cdot x^{100}-2\left(x^{99}\cdot x^{103}\right) $$

Řešení: Začneme tím, že využijeme vzorce pro práci s mocninami, který říká: a^b · a^c = a^{b + c} a dále už to budou jednoduché úpravy:

\begin{eqnarray} 3x^{102}\cdot x^{100}-2\left(x^{99}\cdot x^{103}\right)&=&3\cdot x^{102+100}-2\left(x^{99+103}\right)\\ &=&3\cdot x^{202}-2x^{202}\\ &=&x^{202} \end{eqnarray}

3. úloha

Na číselné ose zobrazte a popište všechna celá čísla, jež náleží množině (−1;2),∪(2;3>∪(3;4>.

Řešení: Důležitými pojmy v zadání jsou celá čísla a intervaly. U intervalu záleží na tom, jestli je otevřený, nebo uzavřený. Interval (−1;2) totiž obsahuje všechna reálná čísla, která jsou větší než −1 a menší než 2. Důležité je, že tento interval neobsahuje krajní čísla −1 a 2. Pokud nemáme v intervalu kulaté závorky, ale špičaté, mluvíme o uzavřeném (zleva/zprava uzavřeném) intervalu, takže interval (2;3> obsahuje všechna reálná čísla, která jsou větší než dva a která jsou menší nebo rovna než tři. Tento interval neobsahuje číslo 2 (kulatá závorka), ale obsahuje číslo 3 (špičatá závorka).

Znak ∪ značí klasické sjednocení množin. Nyní tyto tři intervaly naneseme na číselnou osu:

Dle zadání máme všechny tři intervaly sjednotit a nalézt všechna celá čísla, která obsahují. Číslo −1 žádný interval neobsahuje, červený interval obsahuje čísla 0 a 1, modrý interval obsahuje 3 a zelený 4. Zvýrazníme všechny tyto body:

Případně můžeme zvýraznit pouze výsledné body:

4. úloha

Zapište intervalem množinu všech x ∈ ℝ, pro něž platí současně dvě podmínky:

\begin{eqnarray} 2x+4 &>& 0\\ \frac{3-x}{2}&\ge&0 \end{eqnarray}

Řešení: Vyřešíme obě lineární nerovnice. Začneme první:

\begin{eqnarray} 2x+4&>&0\\ 2x&>&-4\\ x&>&-2 \end{eqnarray}

Nyní vyřešíme druhou nerovnici:

\begin{eqnarray} \frac{3-x}{2}&\ge&0\qquad/\cdot2\\ 3-x&\ge&0\\ -x&\ge&-3\qquad/\cdot (-1)\\ x&\le&3 \end{eqnarray}

Protože jsme v posledním kroku násobili −1, museli jsme obrátit znaménko nerovnosti, viz ekvivalentní úpravy nerovnic. Nyní dáme oba výsledky dohromady. První výsledek říká, že x>−2 a druhý, že x≤3. Protože je v prvním případě x>−2 ostrá nerovnost (tj. je tam „větší než“, není tam „větší nebo rovno“), tak interval bude zleva otevřený, (−2. V druhém případě máme naopak „menší nebo rovno“, takže interval bude zprava uzavřený. celý interval bude vypadat (−2, 3>.

5. úloha

Uveďte podmínky pro a∈ ℝ, sečtěte a zjednodušte:

$$ \frac{1}{a+2}+\frac{1-a^2}{3a+6} $$

Řešení: Ve výrazu máme dva zlomky a tak musíme zajistit, aby ve jmenovateli nikdy nebyla nula. Položíme oba jmenovatele rovny nule a vyřešíme pro a:

\begin{eqnarray} a+2&=&0\\ a&=&-2 \end{eqnarray}

a

\begin{eqnarray} 3a+6&=&0\\ 3a&=&-6\\ a&=&-2 \end{eqnarray}

V obou případech nám vychází a = −2, tedy v případě, kdy je a = −2, tak budou jmenovatele nulové. Zapíšeme tak podmínku a≠ − 2. Dále celý výraz zjednodušíme. Převedeme oba zlomky na společného jmenovatele tím, že první zlomek rozšíříme třemi:

\begin{eqnarray} \frac{1}{a+2}+\frac{1-a^2}{3a+6}&=&\frac{1}{a+2}\cdot \frac{3}{3}+\frac{1-a^2}{3a+6}\\ &=&\frac{3}{3a+6}+\frac{1-a^2}{3a+6} \end{eqnarray}

Protože mají zlomky stejný jmenovatel, můžeme je snadno sečíst:

\begin{eqnarray} \frac{3}{3a+6}+\frac{1-a^2}{3a+6} &=& \frac{3+1-a^2}{3a+6}\\ &=&\frac{4-a^2}{3a+6}\\ &=&\frac{4-a^2}{3(a+2)} \end{eqnarray}

Ve jmenovateli jsme vytkli číslo tři a získali jsme v závorce a + 2. Existuje způsob, jak získat a + 2 i v čitateli zlomku, abychom to krásně zkrátili? Protože se jedná o maturitní příklad, ve kterém vždy vše krásně vychází, tak ano, existuje. Použijeme vzorec x² − y² = (x + y) · (x − y), kde x = 2, y = b:

\begin{eqnarray} \frac{4-a^2}{3(a+2)} &=& \frac{(2-a)\cdot\color{red}{(2+a)}}{3\color{red}{(a+2)}}\\ &=&\frac{2-a}{3}. \end{eqnarray}

Více už výraz zjednodušit nejde. Zjednodušený výraz je $\frac{2-a}{3}$ a jediná podmínka je a≠ − 2.

6. úloha

Pro libovolné a∈ ℝ platí rovnost:

$$ (3a-2)^2-6a^2+{\Large\square} = 3a^2+4 $$

Určete chybějící člen v rámečku.

Řešení: Umocníme závorku, převedeme všechny výrazy na pravou stranu a na levé necháme pouze čtvereček. Závorku umocníme podle vzorce (x − y)² = x² − 2xy + y².

\begin{eqnarray} (3a-2)^2-6a^2+{\Large\square} &=& 3a^2+4\\ 9a^2-12a+4-6a^2+{\Large\square} &=& 3a^2+4\\ 3a^2-12a+4+{\Large\square} &=& 3a^2+4\qquad/-3a^2\\ -12a+4+{\Large\square} &=& 4 \qquad/-4\\ -12a+{\Large\square} &=& 0\qquad/+12a\\ {\Large\square} &=& 12a \end{eqnarray}

Vyšlo nám, že čtvereček musí být roven 12a, aby měl výraz vždy smysl.

7. úloha

Jedním z kořenů kvadratické rovnice (x − 2)+(x + 2)(x − 2) = 0 je x = 2. Vypočítejte druhý kořen.

Řešení: Nejpřímější řešení je roznásobit závorku, vše sečíst a pak kvadratickou rovnici vyřešit klasicky. Pokud se podíváme na výraz (x + 2)(x − 2), jistě si hned všichni na první všimneme vzorce, který bychom mohli použít. Jedná se o vzorec a² − b² = (a + b)(a − b). V tomto případě platí, že a = x, b = 2, takže platí

$$ (x+2)(x-2)=x^2-4 $$

Dosadíme do původní rovnice:

\begin{eqnarray} (x-2)+(x+2)(x-2)&=&0\\ (x-2)+x^2-4&=&0\\ x^2+x-2-4&=&0\\ x^2+x-6&=&0 \end{eqnarray}

Nyní můžeme použít Vietovy vzorce. Ty říkají, že pokud máme kvadratickou rovnici ve tvaru x² + bx + c, a x₁, x₂ jsou kořeny této rovnice, pak platí −(x₁ + x₂) = b a x₁x₂ = c.

My víme, že x₁ = 2, takže jen dosadíme do některé rovnice. Musí platit, že 2 · x₂ = −6, takže x₂ = −3, to je druhý kořen rovnice.

Mohli bychom ale klidně použít starý dobrý diskriminant:

$$ D = b^2-4ac = 1^2-4\cdot1\cdot(-6)=25 $$

A vzorec pro určení kořenů kvadratické rovnice:

$$ x_{1{,}2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} $$

Po dosazení:

\begin{eqnarray} x_1&=&\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-1+\sqrt{25}}{2}=\frac{-1+5}{2}=2\\ x_2&=&\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-1-\sqrt{25}}{2}=\frac{-1-5}{2}=-3\\ \end{eqnarray}

Vyšly nám stejné výsledky.

8. úloha

V kartézské soustavě souřadnic Oxy je umístěna úhlopříčka AC rovnoběžníku ABCD. Pro druhou úhlopříčku f platí

$$ \vec{BD}=\vec{f}=(-4;2) $$

1. Umístěte a popište vrcholy B, D a zakreslete čtyřúhelník ABCD.
2. Vypočtěte délku úhlopříčky BD. Nezaokrouhlujte.

Řešení:

1. Zakreslíme do obrázku vektor $\vec{f}=(-4;2)$. Vektor f je normovaný, to znamená, že vychází z počátku a končí v bodě [−4;2]:

Pro rovnoběžník platí, že úhlopříčky se navzájem půlí a jsou na sebe kolmé. Úhlopříčka BD tak bude kolmá na úhlopříčku AC, budou se protínat ve středu úhlopříčky AC a velikost úhlopříčky BD bude stejná jako velikost velikost vektoru f.

Střed úsečky AC vypočítáme analyticky tak, že sečteme souřadnice bodů A a C a vydělíme dvěma. Poté přeneseme vektor f tak, aby bod S tento vektor půlil.

$$ S = \frac{A+C}{2}=\frac{[2;1]+[6;7]}{2}=\frac{[2+6;1+7]}{2}=\frac{[8;8]}{2}=[4;4] $$

A doplníme na rovnoběžník:

2. Délku úhlopříčky můžeme vypočítat tak, že vypočítáme velikost vektoru f.

$$ |\vec{f}|=\sqrt{f_1^2+f_2^2}=\sqrt{-4^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=\sqrt4\sqrt5=2\sqrt5 $$

Předposlední úpravu jsme provedli díky vzorci pro práci s odmocninami: $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}$. Velikost úhlopříčky tak je $2\sqrt5$, případně $\sqrt{20}$. Protože nemáme zaokrouhlovat, je to už konečný výsledek.

9. úloha

Rychlost tiskárny je 20 listů za n sekund.

1. Vypočítejte, kolik listů se vytiskne za jednu sekundu.
2. Vypočtěte, kolik listů se vytiskne za n minut.

Řešení:

1. Může vás zmást, že my vlastně nevíme, za kolik sekund vytiskne tiskárna těch 20 listů, přesto se po nás chce, abychom spočítali, kolik listů se vytiskne za jednu sekundu. Můžeme si to pro jednoduchost představit tak, že za n dosadíme libovolné hezké číslo, například 10, tedy tiskárna vytiskne 20 listů za 10 sekund.

Jak bychom nyní spočítali, kolik listů se vytiskne za jednu sekundu? Jednoduše vydělíme $\frac{20}{10}=2$, tiskárna tak vytiskne za jednu sekundu dva listy. My ale ve skutečnosti pouze víme, že to tiskárna zvládna za n sekund. Postup ale bude stejný, jen všude místo čísla 10 dosadíme obecnou proměnnou n. Takže tiskárna za jednu sekundu vytiskne $\frac{20}{n}$ listů.

2. Za n sekund se vytiskne 20 listů, n minut je totéž jako 60n sekund, takže za n minut se vytiskne 60 · 20 = 1200 listů.

10. úloha

V oboru ℝ řešte rovnici:

$$ \log5=\log4-\log(5x) $$

Řešení: abychom mohli odlogaritmovat celou rovnici, potřebujeme ji mít ve tvaru $\log=\log$, tj. na pravé straně nám vadí ten rozdíl logaritmů. Aplikujeme vzorec pro práci s logaritmy:

$$ \log_a\left(\frac{x_1}{x_2}\right)=\log_a x_1 - \log_a x_2 $$

Přitom v našem případě x₁ = 4, x₂ = 5x. Dostaneme:

\begin{eqnarray} \log5&=&\log4-\log(5x)\\ \log5&=&\log\frac{4}{5x} \end{eqnarray}

Nyní máme rovnice ve tvaru $\log=\log$ a můžeme provést odlogaritmování. Tzn., že úplně odstraníme oba logaritmy a ponecháme jen jejich argumenty:

$$ 5=\frac{4}{5x} $$

Toto je jednoduchá lineární rovnice, kterou už vyřešíme klasickým postupem:

\begin{eqnarray} 5&=&\frac{4}{5x}\qquad/\cdot5x \mbox{ (přitom } x\ne0)\\ 25x&=&4\\ x&=&\frac{4}{25} \end{eqnarray}

Výsledek je $x=\frac{4}{25}$.