Řešení maturity z matematiky (2013, jaro)

Zadání a řešení úloh maturitního testu z matematiky, jaro 2013. Oficiální zadání a oficiální výsledky naleznete na stránkách ceskaskola.cz. Didaktický test se skládá z 26 úloh, prvních 16 tvoří úlohy otevřené, zbylých 11 tvoří uzavřené úlohy, které obsahují nabídku odpovědí. U těchto úloh je vždy právě jedna odpověď správná. Za nesprávnou nebo neuvedenou odpověď se nestrhávají body.

Na této stránce se nachází řešení úloh 21 až 26. Další řešení maturitních úloh se nachází na předchozí stránce.

21. úloha

Plechovky tvaru válce mají poloměr r = 3 cm a výšku v = 13 cm. Plechovky jsou po třech zataveny ve slídovém obalu. Obal obepíná plechovky od horního k dolnímu okraji a nepřekrývá podstavy plechovek. Rozvinutím rozstřiženého obalu vznikne obdélník.

Jaký je obsah obalu (s přesností na cm²)?

• A) 479 cm²
• B) 514 cm²
• C) 543 cm²
• D) 598 cm²
• E) jiný obsah

Řešení: Abychom spočítali obsah obdélníku, potřebujeme znát výšku válců (tu známe) a obvod obalu. Ten neznáme a ten musíme vypočítat. Podívejte se na následující upravený obrázek:

Červeně jsem tam zvýraznil středy kruhů (body A, B, C) a pak také body, kdy se obal přestává nebo začíná dotýkat válců. Všimněte si, že vzdálenost úsečky IH je stejná jako vzdálenost úsečky AC, jinak řečeno: obal se nedotýká válců ve třech místech a tato místa jsou dlouhá dvojnásobek poloměru válců.

Zároveň platí, že oblouk DI má velikost právě jednu třetinu obvodu celé kružnice. Kruhová výseč DAI představuje třetinu celého kruhu. Takže vypočítáme obvod kružnice:

$$ o=2\pi r = 2\pi\cdot3=6\pi \mbox{ cm} $$

Z této kružnice třikrát použijeme jednu třetinu, takže celkově použijeme 6π cm. K tomuto musíme ještě přičíst ty části, kde se obal nedotýká plechovek, což je 6r = 6 · 3 = 18 cm. Celkem nám vychozí obvod obalu:

$$ o_\mbox{obal} = 6\pi + 18 \mbox{ cm} $$

Nyní vypočítáme obsahu obdélníku/obalu:

$$ S = o_\mbox{obal} \cdot v = (6\pi + 18) \cdot 13 \approx 479{,}0442 \approx 479 $$

Správná odpověď je A.

22. úloha

Pětimístný kód obsahuje pět různých číslic, na prvním místě je číslice 8 a na posledním místě číslice 5. (Zadání vyhovuje např. kód 80415.)

Kolik různých kódů vyhovuje popisu?

Řešení: Máme číslo ve tvaru 8abc5, kde za písmena a, b, c musí doplnit nějakou číslici tak, aby se žádná číslice neopakovala. Za písmeno a tak můžeme doplnit 8 různých číslic (všechny kromě 8 a 5), za b můžeme doplnit 7 číslic (všechna kromě 8, 5 a kromě té číslice, kterou jsme dosadili za a) a za c tak můžeme doplnit 6 číslic. Použijeme kombinatorické pravidlo součinu a všechny možnosti vynásobíme: 8 · 7 · 6 = 336. Celkem máme 336 možností. V archu je to odpověď B.

23. úloha

Na semináři je 25 žáků. Pouze 10 z nich je dobře připraveno. Učitel vylosuje 5 žáků ke zkoušení.

Jaká je pravděpodobnost, že první vylosovaný žák je dobře připraven?

Řešení: Protože nás zajímá pouze první vylosovaný, je zcela jedno, kolik jich pan učitel vylosoval celkem. Před prvním vylosovaných tak máme celkem 25 žáků a 10 z nich je dobře připraveno. Pravděpodobnost tak je $\frac{10}{25}=0,4$. V archu je to odpověď C.

24. úloha

V geometrické posloupnosti

$$ (a_n)_{n=1}^{\infty} $$

platí:

\begin{eqnarray} a_2 &=& 2\\ a_2 \cdot a_3 &=& 6 \end{eqnarray}

Které z následujících tvrzení je nepravdivé?

• A) $a_1=\frac43$
• B) a₁q = 2
• C) a₂q = 3
• D) a₃ = 3
• E) $\frac{a_3}{q}=\frac34$

Řešení: Symbolem q se rozumí kvocient, což je konstanta, která v dané geometrické posloupnosti určuje, kolikrát je následující prvek větší než ten předcházející. Například pro geometrickou posloupnost 3, 9, 27, 81, … by platilo, že q = 3.

Víme, že a₂ = 2, takže pokud a₂ · a₃ = 6, tak $a_3 = \frac{6}{a_2}=3$. Kvocient q je tak roven $q=\frac{a_3}{a_2}=\frac{3}{2}$. Nyní můžeme postupně ověřovat jednotlivá tvrzení:

• A) $a_1=\frac43$: Protože jde o geometrickou posloupnost, musí platit a₁ · q = a₂. Spočítáme $a_1\cdot q = \frac43\cdot \frac32 = \frac{12}{6}=2$. Toto tvrzení je pravdivé.
• B) a₁q = 2: Opět musí platit a₁ · q = a₂, což platí. Toto tvrzení je pravdivé.
• C) a₂q = 3: Totéž, musí platit a₂ · q = a₃, což platí. Toto tvrzení je pravdivé.
• D) a₃ = 3: To jsme už spočítali. Toto tvrzení je pravdivé.
• E) $\frac{a_3}{q}=\frac34$: Zde musí platit $\frac{a_3}{q}=a_2$, protože a₂ · q = a₃. Toto neplatí, protože $a_2\ne\frac34$. Zároveň tento příklad potvrzuje teorii, že když jde o to najít tvrzení, které neplatí, je dobré začít od konce.

25. úloha

Přiřaďte ke každému grafu (25.1—25.4) odpovídající předpis funkce (A-F).

Řešení: Všechny grafy jsou tvořeny jednou přímkou. Každá z těchto přímek je tak popsána nějakou lineární funkcí ve tvaru y = ax + b, kde a, b∈ ℝ. Abychom zjistili přesný přepis, budeme postupovat takto:

Podíváme se, jakou y-ovou souřadnici má graf v bodě x = 0. V prvním grafu 25.1 je y-ová souřadnice rovna y = 2. To znamená, že když do předpisu y = ax + b dosadíme x = 0, tak funkční hodnota bude 2, tedy hodnota výrazu a · 0 + b bude 2. Hned vidíme, že musí zároveň platit b = 2. Tím jsme získali koeficient b a víme, že funkce má tvar y = ax + 2. Zbývá dopočítat a.

Nyní vezmeme nějaký jiný bod, nabízí se průsečík přímky s osou x, protože tam máme nulovou y-ovou souřadnici, což nám usnadní práci. V prvním grafu je to bod x = −2, y = 0. Tímto bodem prochází přímka, takže pokud tyto body dosadíme do funkce y = ax + 2 a osamostatníme a, získáme hodnotu hledaného koeficientu.

\begin{eqnarray} y&=&ax+2\\ 0&=&-2a+2\\ 2a&=&2\\ a&=&1 \end{eqnarray}

Výsledná funkce má tvat y = x + 2. Už jen stručně výsledky ostatních grafů:

• 25.1: B
• 25.2: F
• 25.3: D
• 25.4: A

26. úloha

Přiřaďte ke každému výrazu (26.1—26.3) jeho ekvivalentní vyjádření (A-E).

• 26.1: (a⁻¹ · a²)³

• 26.2: $\left(\frac{a^{-4}}{a^{-1}}\right)^{-2}$

• 26.3: $\sqrt{a^4\cdot a^{12}}$

• A) a³

• B) a⁴

• C) a⁶

• D) a⁸

• E) a⁻⁶

Řešení: Tak jedeme postupně:

• (a⁻¹ · a²)³: Upravíme výraz v závorce podle vzorce a^b · a^c = a^{b + c}:

$$ (a^{-1}\cdot a^2)^3=(a^{-1+2})^3=(a^{1})^3=(a)^3=a^3 $$

Správná odpověď je A.

• $\left(\frac{a^{-4}}{a^{-1}}\right)^{-2}$: Zde si pomůžeme vzorcem $a^{-b}=\frac{1}{a^b}$, respektive $\frac{1}{a^{-b}}=a^{b}$.

$$ \left(\frac{a^{-4}}{a^{-1}}\right)^{-2} = \left(a^{-4}\cdot \frac{1}{a^{-1}}\right)^{-2}=\left(a^{-4}\cdot a^1\right)^{-2}= \left(a^{-4+1}\right)^{-2}=\left(a^{-3}\right)^{-2} $$

Dále použijeme vzorec (a^b)^c = a^{b · c}:

$$ \left(a^{-3}\right)^{-2} = a^{-3\cdot-2}=a^6. $$

Správná odpověď je C.

• $\sqrt{a^4\cdot a^{12}}$: Nejprve upravíme výraz pod odmocninou podle už známého vzorce:

$$ \sqrt{a^4\cdot a^{12}} = \sqrt{a^{4+12}}=\sqrt{a^{16}}. $$

Dále využijeme toho, že $\sqrt{x}$ můžeme napsat jako $x^{\frac12}$. Obecně platí, že n-tá odmocnina z x, tj. $\large\sqrt[n]{x}$ je rovna $\large x^{\frac1n}$. Upravíme dále:

$$ \sqrt{a^{16}} = (a^{16})^{\frac12} = a^{16\cdot\frac12}=a^8. $$

Správná odpověď je D.