Obsah trojúhelníku

Kapitoly: Trojúhelník, Výška trojúhelníku, Těžnice trojúhelníku, Kružnice v trojúhelníku, Pravoúhlý trojúhelník, Jak narýsovat trojúhelník, Obsah trojúhelníku, Pythagorova věta

Obsah trojúhelníku můžeme zjistit dvěma hlavními způsoby. Buď doplníme trojúhelník na rovnoběžník a vypočítáme obsah tohoto rovnoběžníku nebo použijeme Heronův vzorec.

Doplnění na rovnoběžník

Nejprve se podíváme, jak jsme obsah trojúhelníku počítali v případě, kdy se jednalo o pravoúhlý trojúhelník. Doplnili jsme trojúhelník na obdélník, vypočítali jsme obsah tohoto obdélníku a výsledek vydělili dvěma. Graficky to znázorňuje následující obrázek:

Obsah v pravoúhlém trojúhelníku Obsah v pravoúhlém trojúhelníku

Jenže trojúhelník, který není pravoúhlý, nemůžeme takto snadno doplnit na obdélník. Ale můžeme do doplnit na rovnoběžník. Takže mějme následující trojúhelník ABC:

Trojúhelník ABC Trojúhelník ABC

Tento trojúhelník doplníme na rovnoběžník tak, že z bodu C povedeme úsečku, která bude rovnoběžná s úsečkou AB a bude také stejně dlouhá. Pak povedeme úsečku z bodu A tak, aby byla rovnoběžná s úsečkou BC a aby byla stejně dlouhá. Dostaneme tento rovnoběžník:

Doplnění na rovnoběžník Doplnění na rovnoběžník

Otázkou je, jak vypočítáme obsah tohoto rovnoběžníku. Nemůžeme vynásobit dvě sousední strany jako v případě obdélníku. Nicméně z tohoto rovnoběžníku můžeme jednoduše vytvořit obdélník, který bude mít stejný obsah jako rovnoběžník. Platí, že následující červeně zvýrazněné trojúhelníky mají stejný obsah:

Červně zvýrazněné trojúhelníky mají stejný obsah Červně zvýrazněné trojúhelníky mají stejný obsah

Pokud trojúhelník AED přesuneme na místo trojúhelníku BFC, získáme tak obdélník se stejným obsahem:

Doplnění na obdélník Doplnění na obdélník

Toto už je obdélník a jeho obsah se tak rovná součinu délek dvou sousedních stran. Jenže jaká je délka strany AE nebo BF? Když se pozorně podíváte na tučně zvýrazněný původní trojúhelník ABC, tak zjistíte, že délka strany AE přesně odpovídá délce výšky trojúhelníku z vrcholu C. Takže co můžeme napsat o obsahu tohoto obdélníku? Že obsah je roven:

$$S_{\square}=|v_c|\cdot|AB|.$$

kde vc je výška z vrcholu C. Obsah trojúhelníku je pak roven polovině tohoto obsahu:

$$S_{\triangle}=\frac{|v_c|\cdot|AB|}{2}.$$

Obdélník s vyznačenou výškou a stranou AB Obdélník s vyznačenou výškou a stranou AB

Finální vzorec

Vzorec z minulé kapitoly můžeme samozřejmě zobecnit na kteroukoliv ze tří stran:

$$\begin{eqnarray} S_{\triangle}&=&\frac{|v_a|\cdot|a|}{2},\\ S_{\triangle}&=&\frac{|v_b|\cdot|b|}{2},\\ S_{\triangle}&=&\frac{|v_c|\cdot|c|}{2}. \end{eqnarray}$$

Přičemž va, vb a vc značí výšky ke stranám a, b a c.

Heronův vzorec

Pokud neznáte délku žádné výšky v trojúhelníku, ale znáte délky všech stran, můžete spočítat obsah pomocí Heronova vzorce. Platí, že:

$$S_{\triangle}=\sqrt{s\cdot(s-a)\cdot(s-b)\cdot(s-c)},$$

kde

$$s=\frac{a+b+c}{2}.$$