Jak spočítat účinnost očkování?

Jak je možné, že očkovaných lidí může na danou nemoc zemřít více než neočkovaných? Zní to paradoxně, trochu to dokonce zní, že očkování nefunguje — ba naopak škodí — ale ukážeme si, že to nemusí být pravda.

Představte si, že máme nějaké město, ve kterém žije sto tisíc obyvatel a že ve městě řádí zlá a zákeřná nemoc Provid. Vědci a výzkumníci ale dokázali vytvořit vakcínu, která před touto nemocí chrání a touto vakcínou naočkovali část obyvatel. Přesto, když se podíváme na data, tak na Provid zemřelo tisíc očkovaných lidí a tisíc neočkovaných lidí. Obyvatelé jsou zmatení a mají pocit, že očkování nefunguje, když umírá stejně očkovaných jako neočkovaných. Funguje tedy vakcína, nebo nefunguje?

Těžko říct 🤷 jenom na základě těchto dat, které zatím máme k dispozici. Nestačí nám totiž vědět, kolik očkovaných a neočkovaných lidí zemřelo na Provid. Potřebujeme zároveň vědět, kolik lidí se reálně nechalo naočkovat. Mohl bych se vás totiž zeptat: co je nebezpečnější? Jezdit v autě, nebo vylézt na Mount Everest? Čísla úmrtí mluví jasně: při pokusu vylézt na Everest umřely stovky lidí. V autě se zabije přes milion lidí. Ročně. Je tedy zřejmé, že je bezpečnější pokusit se vylézt na Everest než vlézt do pojízdné rakve.

Všem se vám teď musí rozsvítit kontrolka v hlavě — ve skutečnosti není bezpečnější lézt na Everest než řídit auto. Čísla nás klamou proto, že jsme nevzali v potaz, že zatímco na Everest vylezly tisíce horolezců, v autě jezdí miliardy lidí. Podobně musíme vzít v potaz, kolik lidí je v našem imaginárním městě naočkovaných. Zkusme si to rozebrat na několika příkladech:

• Co když jsme ve městě naočkovali pouze tisíc lidí a 99 tisíc lidí je neočkovaných? To by znamenalo, že každý naočkovaný zemřel. Zatímco jen jeden tisíc z 99 tisíců neočkovaných zemřel. Vakcína by tedy nejen nepomáhalo, ale naopak škodila!
• Co když by to bylo naopak a ve městě bylo 99 tisíc naočkovaných a jen jeden tisíc neočkovaných? Každý nenaočkovaný tedy zemřel, zatímco z očkovaných by zemřel jen jeden tisíc z 99. Vakcína sice není 100%, ale viditelně řádově zvyšuje šanci na přežití.
• Co když by byla naočkována polovina města a druhá polovina nebyla? Pak by to znamenalo, že zemřel jeden tisíc z padesáti tisíců očkovaných a jeden tisíc z padesáti tisíců neočkovaných. V obou skupinách zemřely dvě procenta obyvatel — to znamená, že vakcína nemá žádný efekt, ani pozitivní, ani negativní.

Co je to účinnost vakcíny

Dobře, jakým způsobem tedy spočítat účinnost vakcíny? Řekneme, že účinnost vakcíny je podíl lidí, které vakcína zachránila před smrtí. Pro příklad, dejme tomu že na nemoc zemřelo tisíc neočkovaných lidí, přitom v alternativní realitě, kde jsme těchto stejných tisíc lidí naočkovali, jich zemřelo jen 300 a 700 jich přežilo. V takovém případě vakcína zachránila 700 lidí z 1000, účinnost této vakcíny by byla 70 %. Kdyby nezemřel nikdo, byla by účinnost 100%, kdyby zemřeli všichni, byla by účinnost 0%.

No dobře, ale my nemáme k dispozici dva paralelní vesmíry, ve kterém bychom jednou někoho naočkovali a ve druhém bychom toho stejného člověka nenaočkovali. Účinnost tak musíme počítat jinak. Vraťme se k našem městečku o sto tisících obyvatelích. Přidejme si chybějící informaci — dejme tomu, že jsme naočkovali 90 tisíc lidí. To jsou data, která jsme schopni sesbírat i v reálném světě. Jaká je účinnosti vakcíny? Jako první si spočítáme podíl mrtvých v každé skupině, tedy kolik procent očkovaných a neočkovaných zemřelo:

• Zemřel jeden tisíc z 10 tisíc neočkovaných, což je 10 %. Označme si to jako NL = 10 % (nenaočkovaní lidé).
• Zemřel jeden tisíc z 90 tisíc očkovaných, což je zhruba 1,11 %. Označme si to jako OL = 1,11 % (očkovaní lidé).

Vidíme, že umřelo 1,11 % očkovaných, zatímco neočkovaných umřelo 10 %. Výslednou účinnost U vypočítáme pomocí vzorce

$$U=\frac{NL-OL}{NL}\cdot100\%$$

Po dosazení máme

$$U=\frac{10-1{,}11}{10}\cdot100\%=\frac{8{,}89}{10}\cdot100\%=0{,}889\cdot100\%=88{,}9\%.$$

Účinnost naší vakcíny je rovna 88,9 %. Tedy, vakcína zachránila 88,9 % lidí, kteří by jinak zemřeli. Můžeme si to ostatně také spočítat: ve skupině neočkovaných zemřelo 10 % lidí. Kdybychom těch 90 tisíc lidí také nenaočkovali, zemřelo by z nich stejných deset procent lidí, což je 9000 lidí. Protože vakcína má 88,9% účinnost, 88,9 % z těchto 9000 lidí nakonec přežilo díky vakcíně, tj. 88,9 % z 9000 je právě 8000 a zbývá nám 11,1 % lidí, kteří bohužel i tak zemřeli — to je ta tisícovka mrtvých ze zadání.

Vidíme, že tato vakcína nám dává mnohem vyšší šance na přežití, ale nedá se říci, že po naočkování máme 100% jistotu, že na nemoc neumřeme.

Čím více naočkovaných, tím více mrtvých očkovaných

Mimochodem to vede na zajímavý paradox. Představme si, že touto naší vakcínou s účinností 88,9 % naočkujeme ještě dalších 5000 lidí ve městě, tj. dostaneme se na 95 tisíc naočkovaných a jen jeden tisíc neočkovaných. Pak bude platit, že

• Z 5000 neočkovaných jich zemře 10 %, tedy 500.
• Z 95 tisíc naočkovaných jich zemře 1,11 %, tedy zhruba 1055.

‼️‼️‼️ ŠOK ‼️‼️‼️ Očkovaných umírá mnohem více než neočkovaných. Je to ale dáno čistě tím, že očkovaných je řádově více než neočkovaných. Dá se to říci i tak, že zatímco očkovaných lidí je ve městě 95krát více než neočkovaných, tak máme jen dvakrát více mrtvých očkovaných než neočkovaných.

A především — celkový počet mrtvých se snížil. Zatímco nyní máme 500 + 1055 = 1555 mrtvých, tak v předchozím příkladě jsme měli 1000 + 1000 = 2000 mrtvých.

Různé účinnosti vakcíny

Pojďme se podívat na nějaké zajímavé hodnoty účinnosti:

• 100% účinnost bychom získali, pokud by OL bylo rovné nule (nikdo z očkovaných nezemřel) a NL by se rovnalo 100 % (všichni zemřelí jsou nenaočkovaní). Účinnost vakcíny nemůže být větší než 100 %.
• 0% účinnost bychom získali, pokud by NL = OL (pokud by umíralo procentuálně stejně očkovaných jako neočkovaných). Znamenalo by to, že vakcína nemá žádný účinek.
• Zápornou účinnost bychom získali, pokud by OL bylo větší NL, tedy pokud by zemřelých očkovaných bylo více než neočkovaných. Vakcína by v takovém případě škodila.

Vakcínu s účinností kolem 83 % si můžete představit tak, že pokud byste onemocněli a měli jste tu smůlu, že zrovna vás by nemoc měla skolit, očkování vám ještě poskytne dodatečnou ochranu — můžete si hodit kostkou a pokud hodíte jedna až pět, očkování vás zachrání, pokud hodíte šestku, nemoc vás i tak zabije.

Pozor na různé skupiny lidí

Pozor na to, že při výpočtu účinnost očkování není dobré se jen tak slepě řídit vzorečkem, který jsem uvedl nahoře. Pro jeho aplikaci je dobré vědět, jak se nemoc chová a jaká je naše očkovací strategie. Nemoci jsou různé, útočí na různé skupiny lidí a stejně tak různé skupiny lidí budou mít různou proočkovanost. Pokud nějaká nemoc útočí jenom na ženy, může nám být jedno, jaká je proočkovanost mužů. Pokud nemoc útočí na starší ročníky, může nám být jedno, jaká je proočkovanost mladších ročníků a bude lepší počítat účinnost se znalostí proočkovanosti starších ročníků.

Stejně tak můžeme u vakcín měřit různý typ ochrany. V celém článku jsme psali morbidně rovnou o smrti, ale u vakcín můžeme měřit i účinnost toho, jak vakcína snižuje (nebo zvyšuje…) šanci na to, že onemocníme, že to budeme dále přenášet nebo třeba že budeme vyžadovat hospitalizaci.