Parabola

Kapitoly: Kuželosečky, Elipsa, Hyperbola, Parabola, Euklidovy věty

Parabola je kuželosečka, což je křivka, která má od dané přímky a od daného bodu, který na té přímce neleží, konstantní vzdálenost.

Jak vypadá parabola

Parabola je definovaná jedním bodem F a jednou přímkou d. Pro všechny body X této paraboly pak platí, že mají od tohoto bodu F a od přímky d stejnou vzdálenost. Prohlédněte si obrázek:

Parabola Parabola

  • Bod F se nazývá ohnisko paraboly.
  • Přímka d se nazývá řídící přímka paraboly.
  • Přímka FD se nazývá osa paraboly, je kolmá k řídící přímce a prochází ohniskem.
  • Bod V se nazývá vrchol paraboly a nachází se ve středu úsečky FD.
  • Délku úsečky FD nazýváme parametrem paraboly. Jedná se o vzdálenost ohniska od řídící přímky.

V obrázku si také všimněte, že skutečně platí, že vzdálenost bodu paraboly od přímky a od ohniska je vždy stejná. Například pro vrchol V platí, že vzdálenost od ohniska |VF| je stejná jako vzdálenost od přímky |VD|. Podobně to platí pro bod X, který je na obrázku vyznačený. Vzdálenost |XF| je stejná jako vzdálenost |XE|.

Parabola je grafem kvadratické funkce.

Rovnice paraboly

U paraboly rozlišujeme celkem čtyři různé případy. Jak je orientována osa paraboly, tj. jestli je osa svislá (rovnoběžná s osou y), jako na prvním obrázku, nebo jestli je osa vodorovná (rovnoběžná s osou x). Dále pak rozlišujeme případ, kdy je parabola omezená zdola nebo shora a "zleva" nebo "zprava". Nechť má parabola vrchol V o souřadnicích [m, n].

  • První případ: Parabola Parabola Parabola má osu rovnoběžnou s osou y a je omezená zdola. Pro ni platí tato rovnice:

    $$(x-m)^2=2p(y-n)$$

    Ohnisko má souřadnice:

    $$F\left[m, n+\frac{p}{2}\right]$$

  • Druhý případ: Parabola Parabola Parabola má osu rovnoběžnou s osou y a je omezená shora. Pro ni platí tato rovnice:

    $$(x-m)^2=-2p(y-n)$$

    Ohnisko má souřadnice:

    $$F\left[m,n-\frac{p}{2}\right]$$

  • Třetí případ: Parabola Parabola Parabola má osu rovnoběžnou s osou x a je omezená "zleva". Pro ni platí tato rovnice:

    $$(y-n)^2=2p(x-m)$$

    Ohnisko má souřadnice:

    $$F\left[m+\frac{p}{2},n\right]$$

  • Čtvrtý případ: Parabola Parabola Parabola má osu rovnoběžnou s osou x a je omezená "zprava". Pro ni platí tato rovnice:

    $$(y-n)^2=-2p(x-m)$$

    Ohnisko má souřadnice:

    $$F\left[m-\frac{p}{2},n\right]$$