Parametrické vyjádření přímky

Kapitoly: Parametrické vyjádření přímky, Obecná rovnice přímky, Normálový vektor přímky, Směrnicový tvar přímky, Rovnice přímky v prostoru

Parametrická rovnice přímky je základní rovnice přímky v rovině nebo v prostoru.

Motivace

Jak bychom mohli popsat přímku v rovině? Víme, že k popsání přímky nám stačí dva různé body, označme je například A a B. Jinak řečeno: máme-li dva různé body, lze těmito body proložit právě jednu přímku p:

Přímka proložená dvěma body Přímka proložená dvěma body

Jak bychom tuto přímku popsali jinak, pomocí vektorů? Můžeme si do obrázku přikreslit vektor $\vec{\mathbf{u}}$, který bude rovnoběžný s přímkou p.

Přímka s vektorem \vec{\mathbf{u}} Přímka s vektorem $\vec{\mathbf{u}}$

Tento vektor $\vec{\mathbf{u}}$ má stejný směr jako přímka u. To je celkem fajn, jenomže pouze směr nám nestačí. Pokud bychom přímku p charakterizovali pouze vektorem $\vec{\mathbf{u}}$, určili bychom pouze směr přímky, ne konkrétní umístění. Neměli bychom jak rozlišit tyto tři přímky:

Tři přímky ve stejném směru jako vektor \vec{\mathbf{u}} Tři přímky ve stejném směru jako vektor $\vec{\mathbf{u}}$

Nové přímky p1 a p2 mají stejný směr jako přímka p a stejný směr jako vektor $\vec{\mathbf{u}}$. K tomu, abychom jednoznačně definovali přímku p ještě potřebujeme znát alespoň jeden bod ležící na přímce p. Pokud řekneme, že přímka p má směr popsaný vektorem $\vec{\mathbf{u}}$ a prochází bodem A, jednoznačně tím definujeme přímku p. Přímky p1 a p2 jsou sice ve stejném směru, ale ani jedna neprochází bodem A.

Libovolnou přímku můžeme zapsat jako $p(A, \vec{\mathbf{u}})$, kde A je bod ležící na přímce a $\vec{\mathbf{u}}$ je vektor rovnoběžný s přímkou. Například přímku p1 bychom mohli napsat ve tvaru $p(G, \vec{\mathbf{u}})$ a přímku p2 jako $p(E, \vec{\mathbf{u}})$ nebo $p(F, \vec{\mathbf{u}})$ – můžeme použít jakýkoliv bod ležící na přímce.

Směrový vektor přímky

Máme-li přímku $p(A, \vec{\mathbf{u}})$, pak vektor $\vec{\mathbf{u}}$ nazýváme směrovým vektorem přímky. Nejjednodušeji směrový vektor nalezneme tak, že nalezneme dva body A, B, které leží na přímce p a směrový vektor pak bude orientovaná úsečka $\vec{AB}$. Souřadnice tohoto vektoru získáme rozdílem souřadnic $\vec{\mathbf{u}}=B - A$. Příklad:

Přímka p Přímka p

Máme přímku p a na ní leží dva body A, B. Směrový vektor bude roven orientované úsečce $\vec{AB}$, takže souřadnice takového vektoru $\vec{\mathbf{u}}$ zjistíme tak, že vypočítáme

$$ \vec{\mathbf{u}} = \left(u_1, u_2\right) = \left[6, 6\right] - \left[2, 4\right] = \left[4, 2\right] $$

Vektor $\vec{\mathbf{u}}$ má pak stejnou velikost jako orientovaná úsečka $\vec{AB}$. Tento vektor $\vec{\mathbf{u}}$ můžeme do obrázku zakreslit takto:

Přímka se směrovým vektorem Přímka se směrovým vektorem

Koncový bod vektoru $\vec{\mathbf{u}}$ má souřadnice [4, 2], přesně, jak jsme spočítali, a je vidět, že tento vektor je rovnoběžný s přímkou. Směrový vektor nám pouze ukazuje směr přímky, nebo možná lépe – "naklonění přímky". Směrový vektor musí být pouze rovnoběžný s přímkou. Takže pokud bychom místo orientované úsečky $\vec{AB}$ vzali úsečku $\vec{BA}$, vyšel by nám směrový vektor $\vec{\mathbf{v}}=A-B$:

$$ \vec{\mathbf{v}}=\left(v_1, v_2\right)=\left[2,4\right]-\left[6,6\right]=\left[-4,-2\right] $$

Zakresleno v obrázku:

Dva směrové vektory \vec{\mathbf{u}} a \vec{\mathbf{v}} Dva směrové vektory $\vec{\mathbf{u}}$ a $\vec{\mathbf{v}}$

Vidíme, že zelený vektor $\vec{\mathbf{v}}$ je opačný k modrému vektoru $\vec{\mathbf{u}}$. Přitom jsou to oba směrové vektory přímky p, protože jsou oba rovnoběžné s přímkou p.

Parametrické vyjádření přímky

Máme přímku p, bod A, který leží na této přímce a směrový vektor $\vec{\mathbf{u}}$. Jaký bod získáme, pokud sečteme bod A s vektorem $\vec{\mathbf{u}}$? Podívejme se na obrázek:

Výsledek součtu A + \vec{\mathbf{u}} Výsledek součtu $A + \vec{\mathbf{u}}$

Pokud sečteme bod, který leží na přímce, se směrovým vektorem, získáme bod X, který také leží na této přímce. V podstatě jen "posouváme bod A ve směru vektoru o vzdálenost velikosti vektoru $\vec{\mathbf{u}}$". Bod X tak má souřadnice:

$$ X=\left[x,y\right]=A+\vec{\mathbf{u}}=\left[2,1\right]+\left[1,3\right]=\left[3,4\right] $$

Jak by to dopadlo, kdybychom vzali jen polovinu vektoru $\vec{\mathbf{u}}$ nebo dvojnásobek? Nebo −1 násobek? Opět to znázorňuje obrázek:

Součtu bodu A s násobky vektoru \vec{\mathbf{u}} Součtu bodu A s násobky vektoru $\vec{\mathbf{u}}$

Vidíme, že když sečteme bod A s jakýmkoliv násobkem směrového vektoru $\vec{\mathbf{u}}$, vždy získáme bod, který leží na přímce p. Červený bod A znázorňuje "počátek", zelené body pak znázorňují výsledky součtů bodu A s násobky modrého směrového vektoru $\vec{\mathbf{u}}$.

Ve skutečnosti ať vybereme jakýkoliv bod X ležící na přímce p, tak tento bod vždy můžeme vyjádřit jako součet bodu A s nějakým t-násobkem směrového vektoru $\vec{\mathbf{u}}$, kde t je reálné číslo. Pro všechny body X ležící na přímce p můžeme říci, že existuje t∈ ℝ takové, že

$$ X = A + t\cdot \vec{\mathbf{u}}. $$

Jinými slovy – pokud bychom v této rovnici postupně za t dosadili všechna reálná čísla, pak bychom získali všechny body, které tvoří přímku p; získali bychom celou přímku p. Tato rovnice se nazývá parametrické vyjádření přímky $p(A, \vec{\mathbf{u}})$.

Předchozí rovnici můžeme nahradit soustavou rovnic. Pokud má bod X souřadnice [x, y], bod A má souřadnice [a1, a2] a vektor $\vec{\mathbf{u}}$ má souřadnice [u1, u2], tak můžeme napsat

$$ \left[x,y\right]=\left[a_1,a_2\right]+t\cdot\left[u_1,u_2\right], $$

což lze dále přepsat do již zmíněné soustavy rovnic (zvlášť vyjádříme x-ovou a zvlášť y-ovou souřadnici):

$$\begin{eqnarray} x &=& a_1 + t\cdot u_1\\ y &=& a_2 + t\cdot u_2\\ \end{eqnarray}$$

Každá přímka v rovině může být vyjádřena touto soustavou rovnic.

Omezení parametru

V předchozí kapitole jsme si řekli, že když v parametrické rovnici dosadíme za parametr t všechna reálná čísla, dostaneme přímku. Co by se stalo, kdybychom nevzali všechna reálná čísla, ale dejme tomu jen polovina z nich – jen nezáporná reálná čísla?

Získali bychom polopřímku. Když se vrátíme k tomuto obrázku…

Součtu bodu A s násobky vektoru \vec{\mathbf{u}} Součtu bodu A s násobky vektoru $\vec{\mathbf{u}}$

…tak vidíme, že pro všechny kladné násobky (tj. kladný parametr t) směrového vektoru $\vec{\mathbf{u}}$ jsme získali body X, které ležely "nad" bodem A. A naopak – pokud jsme přičetli záporný násobek $\vec{\mathbf{u}}$ (tj. záporný parametr t), tak jsme získali bod, který na "opačné straně", "pod" bodem A. Pokud za parametr t dosadíme všechna nezáporná čísla, tj. t∈<0, ∞), získali bychom takovou, červeně zvýrazněnou, polopřímku r:

Polopřímka r Polopřímka r

Přerušovaná čára znázorňuje body, které bychom získali, kdybychom naopak za parametr t dosadili všechna záporná čísla.

Pokud bychom za parametr t dosadili všechna čísla z jednotkového intervalu <0, 1> získali bychom úsečku, která by byla stejně velká jako je velikost směrového vektoru. Získali bychom tuto červenou úsečku:

Úsečka Úsečka

Příklady

Máme v rovině dva body A[−1, 3] a B[2, 5].

  1. Určete parametrickou rovnici přímky p procházející body A, B. Jako první určíme směrový vektor. Vezmeme si orientovanou úsečku $\vec{AB}$ a směrový vektor $\vec{\mathbf{u}}$ tak bude mít souřadnice

    $$ \vec{\mathbf{u}}=\left[u_1, u_2\right]=B-A=\left[2,5\right]-\left[-1,3\right]=\left[3,2\right] $$

    Parametrické vyjádření přímky má obecně tvar $X = A + t \cdot \vec{\mathbf{u}}$, po dosazení tak získáváme rovnici

    $$ X = \left[-1,3\right]+t \cdot \left[3,2\right] $$

    což můžeme přepsat do soustavy takto:

    $$\begin{eqnarray} x_1 &=& -1 + 3t\\ x_2 &=&3 + 2t \end{eqnarray}$$

    Protože popisujeme přímku, tak t∈ ℝ. Obrázek následuje o trochu níže.

  2. Určete parametrickou rovnici polopřímky r, která má počáteční bod A a prochází bodem B. Použijeme stejnou parametrickou rovnici, jen omezíme parametr t. Nyní jde jen o to, jestli t∈ <0, ∞) nebo t∈ (−∞, 0>.

    Směrový vektor jsme získali z orientované úsečky $\vec{AB}$, což znamená, že počáteční bod je A a koncový bod je B. To je přesně tak, jak to potřebujeme – naše polopřímka má také mít počáteční bod A. To znamená, že nemusíme obracet směr zápornými hodnotami parametru a budeme tak brát parametr t z nezáporného intervalu t∈ <0, ∞).

    Obrázek popisující řešení této a předchozí úlohy.

    Směrový vektor \vec{\mathbf{u}}, přímka p a polopřímka r Směrový vektor $\vec{\mathbf{u}}$, přímka p a polopřímka r

  3. Nalezněte střed úsečky AB. Můžeme postupovat dvěma způsoby: sečíst souřadnice bodů A, B a vydělit výsledné souřadnice dvěma. Udělejme to:

    $$ S = \frac{\left[-1,3\right]+\left[2,5\right]}{2}=\frac{\left[1,8\right]}{2}=\left[\frac12, 4\right] $$

    Stejný bod ale můžeme získat i přes směrový vektor. Ten jsme získali z orientované úsečky $\vec{AB}$, což znamená, že když sečteme $A+\vec{\mathbf{u}}$, tak získáme bod B. Když tak k A přičteme polovinu směrového vektoru, získáme střed úsečky $\vec{AB}$:

    $$ S = A + \frac12 \vec{\mathbf{u}} = \left[-1,3\right] +\frac12 \left[3,2\right] = \left[-1,3\right]+\left[\frac32, 1\right]=\left[\frac12, 4\right] $$

    Vidíme, že vyšel stejný bod. Pro kontrolu obrázek:

    Střed S úsečky AB Střed S úsečky AB

Odkazy a zdroje