Příklady vektorových prostorů

V předchozí části jsme si zadefinovali vektorové prostory, resp. lineární prostory, a ukázali jsme si příklad klasického vektorového prostoru ℝ². V tomto článku se podíváme na další příklady.

Vektorový prostor Rⁿ

Už známe vektorový prostor ℝ², který se skládá z vektorů tvaru [a, b], kde a, b jsou reálná čísla. Ukážeme si, že ve skutečnosti jakákoliv množina uspořádaných n-tic ℝⁿ, pro n > 0 tvoří vektorový prostor.

Pro n = 2 platí, že dostaneme množinu dvojic [a, b]. Pokud zvýšíme n na n = 3, získáme množinu trojic. Tím se z roviny dostáváme do prostoru. ℝ² tak představuje klasickou rovinu, ℝ³ klasický třídimenzionální prostor.

Definice operace sčítání a násobení jsou stejné jako v případě n = 2, pouze je musíme sečíst/vynásobit vždy všechny části vektorů:

$$\begin{eqnarray} \left[a_1, a_2, …, a_n\right] + \left[b_1, b_2, …, b_n\right] &=& \left[a_1+b_1, a_2+b_2, …, a_n+b_n\right]\\ k\cdot\left[a_1, a_2, …, a_n\right] &=& \left[k\cdot a_1, k\cdot a_2, …, k\cdot a_n\right] \end{eqnarray}$$

Nyní bychom měli provést důkaz, že vektorový prostor ℝ³, respektive obecně ℝⁿ splňuje všech sedm bodů z definice vektorových prostorů. Nicméně důkazy by byly vesměs stejné, jen bychom místo vektoru o dvou složkách pracovali s vektorem o třech složkách. Například první bod mluvící o komutativitě sčítání vektorů bychom pro n = 3 dokázali takto:

Máme dokázat: x + y = y + x, kde x, y ∈ ℝ³. Rozepsali bychom sčítání dvou vektorů:

$$\left[a, b, c\right] + \left[d, e, f\right] = \left[a+d, b+e, c+f\right]$$

Pokud na levé straně prohodíme vektory, získáme:

$$\left[d, e, f\right] + \left[a, b ,c\right] = \left[d+a, e+b, f+c\right]$$

Z vlastnosti sčítání dvou reálných čísel ale plyne, že ty výsledné vektory jsou stejné, tj. [a + d, b + e, c + f] = [d + a, e + b, f + c].

Pokud si to porovnáte s důkazem pro n = 2 v předchozím článku, zjistíte, že ten důkaz je prakticky stejný. Ostatních šest bodů tak lze dokázat obdobným způsobem.

Zajímavé ale je, že vektorový prostor je i ℝ¹ = ℝ, samotná množina reálných čísel. Sčítání a násobení vektorů se pak promění v obyčejné sčítání a násobení reálných čísel a operace sčítání a násobení reálných čísel jistě splňují všech 7 bodů.

S prostorem ℝⁿ se určitě ještě setkáme, je to celkem běžný vektorový prostor.

Vektorový prostor matic m× n

Množina všech matic, které mají m řádků a n sloupců a které obsahují pouze reálná čísla, tvoří spolu s operacemi sčítání matic a násobení matic skalárem, vektorový prostor. Zkráceně budeme tento prostor značit ℝ^{m× n}.

Pro m = 2, n = 3 bychom dostali matice, které mají dva řádky a tři sloupce. Příkladem konkrétní matice je

$$\begin{pmatrix} 4&5&1\\ 9&1&3 \end{pmatrix}$$

Operaci sčítání si definujeme takto:

$$ \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&…&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&…&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&…&a_{mn}\\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{11}&b_{12}&…&b_{1n}\\ b_{21}&b_{22}&…&b_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ b_{m1}&b_{m2}&…&b_{mn}\\ \end{pmatrix} =$$

$$ = \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&…&a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&…&a_{2n}+b_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&…&a_{mn}+b_{mn}\\ \end{pmatrix} $$

Klasické sčítání matic. Násobení skalárem budeme definovat podobně:

$$ k \cdot \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&…&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&…&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&…&a_{mn}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} k\cdot a_{11}&k\cdot a_{12}&…&k\cdot a_{1n}\\ k\cdot a_{21}&k\cdot a_{22}&…&k\cdot a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ k\cdot a_{m1}&k\cdot a_{m2}&…&k\cdot a_{mn}\\ \end{pmatrix} $$

Takto definované operace na množině všech matic ℝ^{m× n} tvoří vektorový prostor. Důležité je, že vždy musíme vzít množinu všech matic stejného typu. Pokud by se nám tam připletla matice jiného typu, například pokud bychom k ℝ^{2× 2} přidali matici typu 3 × 1, tak bychom měli problém, protože matici typu 3 × 1 ani nemůžeme sčítat s maticí typu 2 × 2.

Nyní bychom opět měli ověřit, že takto definovaný vektorový prostor splňuje všech 7 podmínek, které na vektorový prostor klademe. Protože bychom se v případě matic upsali, tedy především já bych se upsal, tak jen stručně:

Sčítání dvou matic nám vrátí novou matici stejného typu. Násobení skalárem nám vrátí novou matici stejného typu, takže typově naše operace sedí.

1. x + y = y + x: sčítání matic je evidentně komutativní, protože prvek na souřadnicích ij ve výsledné matici bude mít tvar $x_{ij}+y_{ij} = y_{ij}+x_{ij}$.

• (x+y)+z = x+(y+z): sčítání matic je i asociativní, protože $(x_{ij}+y_{ij})+z_{ij}=x_{ij}+(y_{ij}+z_{ij})$
• a · (b · x) = (a · b) · x: opět platí, že $a \cdot (b\cdot x_{ij}) = (a\cdot b)\cdot x_{ij}$
• a · (x + y) = a · x + a · y: opět pro prvky na souřadnicích ij dostáváme rovnost: $a \cdot (x_{ij} + y_{ij}) = a\cdot x_{ij} + a\cdot y_{ij}$
• (a + b) · x = a · x+b · x: zase jen vyjádříme prvek na souřadnicích ij: $(a+b)\cdot x_{ij} = a\cdot x_{ij}+b\cdot x_{ij}$
• 1 · x = x: protože $1\cdot x_{ij} = x_{ij}$, platí i tento bod.
• Existence nulového prvku. Tím je nulová matice, protože pro všechny matice x našeho vektorového prostoru platí, že 0 · x_ij = 0

Vektorový prostor polynomů

Polynom, neboli jinak mnohočlen, značíme p(x) a je to výraz tvaru:

$$ p(x)=a_0 + a_1x + a_2x^2 + … + a_n x^n. $$

Předpokládáme, že a_n≠0. Stupeň takového polynomu je pak právě číslo n. Reálná čísla a₀, …, a_n nazýváme koeficienty polynomu. Příkladem polynomu může být výraz 4 + 3x − 7x², kde a₀ = 4, a₁ = 3, a₂ = −7 a stupeň polynomu je 2. Některé koeficienty mohou být nulové, takže výraz x²+π x⁷ je polynom stupně 7 a a₂ = 1, a₇ = π a ostatní koeficienty jsou nulové.

Polynomy můžeme jednoduše sčítat — zkrátka sečteme jejich koeficienty. Příklad:

$$ (2+3x-x^2) + (4-5x+101x^2+5x^3) = 6-2x+100x^2+5x^3 $$

Obecně bychom mohli sčítání polynomů zadefinovat takto:

$$ (a_0 + a_1x + a_2x^2 + … + a_n x^n) + (b_0 + b_1x + b_2x^2 + … + b_m x^m) = $$

$$ = (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1)x + (a_2+b_2)x^2 + … + (a_q+b_q) x^q,$$

kde q je maximum z čísel m a n. k-násobek polynomu p(x) pak získáme tak, že číslem k vynásobíme všechny koeficienty:

$$k\cdot (a_0 + a_1x + a_2x^2 + … + a_n x^n) =$$ $$= (k\cdot a_0) + (k\cdot a_1)x + (k\cdot a_2)x^2 + … + (k\cdot a_n) x^n$$

Pro ukázku:

$$ 7\cdot (3+6x-5x^2) = 21+42x-35x^2 $$

Množina všech polynomů, označme ji P(X), s takto definovanými operacemi sčítání a násobení tvoří vektorový prostor. Ověření:

Součet dvou polynomů nám opět dá polynom, násobení skalárem také vytvoří nový polynon. Typově námi definované operace sedí.

Dalších sedm vlastností, které musí splňovat vektorový prostor už si můžete ověřit za domácí úkol. Důkaz bude prakticky stejný jako u předchozích matic, jen místo x_ij budete psát x_i. Nulovým polynomem je pak polynom p(x) = 0.

Zatímco u matic jsme vyžadovali, aby ve vektorovém prostoru byly jen matice stejného typu, u polynomů toto nevyžadujeme. Dokonce to ani vyžadovat nemůžeme. Pokud bychom vzali množinu všech polynomů stupně dva, netvořila by tato množina vektorový prostor. Proč? Můžeme si to ukázat na protipříkladu. Sečteme tyto dva polynomy:

$$ \left(1+2x+3x^2\right) + \left(1+2x-3x^2\right) = 2+4x $$

Tím, že je v prvním polynomu 3x² a ve druhém −3x², jsme po sečtení získali 0x², čímž jsme ale snížili stupeň polynomu. Polynom 2 + 4x je polynom stupně 1, ne 2.

Odkazy a zdroje

• O. Krupková: Lineární algebra 1 [PDF]
• Petr Olšák: Lineární algebra