Racionální čísla
Racionální čísla jsou všechna čísla, která lze zapsat jako podíl dvou celých čísel, tj. ve tvaru zlomku.
Definice
Racionální čísla jsou tedy všechna čísla, která lze zapsat ve tvaru
$$\frac{a}{b}\qquad a,b\in\mathbb{Z}, b\ne0.$$
Ta podmínka, že obě čísla jsou celá čísla má svůj zřejmý význam, pokud byste si totiž vybrali číslo, která není racionální, například π, tak pokud byste sestavili zlomek takto:
$$\frac{\pi}{1},$$
získali byste zpět číslo π, které není racionální. Proto musí být jmenovatel i čitatel celé číslo. A protože nesmíme dělit nulou, musí být jmenovatel různý od nuly.
Můžeme také říci, že racionální čísla jsou čísla s konečným desetinným rozvojem krom případů, kdy se nějaká část periodicky opakuje. Takže příklady racionálních čísel, nejprve ve tvaru zlomku:
$$\frac13,\qquad -\frac59,\qquad \frac{13}{29},\qquad \frac{4}{1}, \ldots$$
a dále čísla ve tvaru desetinného čísla: 0,1; −5; 14,5; −12,93; 0,33333…=$0,\overline{3}$
Periodický zápis
V předchozím příkladě jsme měli číslo 0,3333… Jedná se o desetinné vyjádření zlomku 1/3 a je to číslo s nekonečným desetinným rozvojem. Přesto je racionální, protože rozvoj je periodický. Periodický rozvoj znamená, že od jisté části čísla už se neustále opakuje stejná sekvence čísel. V našem případě se do nekonečna opakovala trojka. Může se ale do nekonečna opakovat například sekvence čísel 12345, stále to bude číslo s periodou, racionální číslo.
Takže každé číslo s konečným desetinným rozvojem je číslo racionální. Každé číslo s nekonečným desetinným rozvojem, kde se nějaká část periodicky opakuje, je také číslo racionální. Číslo s nekonečným desetinným rozvojem, kde se žádná část periodicky neopakuje, je číslo iracionální.
Perioda se označuje buď pomocí tří teček nebo, častěji, pomocí čáry nad čísly, která se periodicky opakují. Periodicky se může opakovat jedno čísla, ale klidně i více čísel. Perioda může začít hned na začátku desetinné části nebo kdykoliv později. Toto jsou všechno periodická čísla:
$$\begin{array}{rclcl} 7/3&=&2{,}33333\ldots&=&2,\overline{3}\\ 16/11&=&1{,}454545\ldots&=&1,\overline{45}\\ 11/6&=&1{,}833333\ldots&=&1{,}8\overline{3} \end{array}$$
Značení a význam
Racionální čísla značíme pomocí písmene Q se zdvojenými oblouky: ℚ. Je to z anglického „quotient“, česky „kvocient“, což označuje výsledek po dělení.
Racionální čísla se používají pro určení části z celku. Typicky třeba „polovina“ nebo „desetina“. To jsou označení celku, která lze v racionálních číslech vyjádřit jako podíl 1/2 a 1/10. V těchto případech pak jmenovatel označuje celek a čitatel část z celku. Pokud se čitatel rovná jmenovateli, pak to znamená, že máme celý celek. Tyto počty se pak obvykle převádějí na procenta.
Vlastnosti
- Racionální čísla jsou nekonečná spočetná množina.
- Racionální čísla jsou uzavřená na operacích sčítání, odečítání, násobení a dělení. Znamená to, že když vydělíme dvě racionální čísla, získáme opět racionální číslo. Toto je změna oproti celým číslům, která na operaci dělení nebyla uzavřená.
- Racionální čísla obsahují všechna celá čísla. Pokud jsou všechna racionální čísla vyjádřitelná zlomkem a/b, pak stačí, aby se b = 1 a po dělení a/1 = a získáme vždy zpět hodnotu čitatele.
- Pokud si vezmeme dvě racionální čísla a a b pro která platí a < b, vždy najdeme další racionální číslo q, pro které platí: a < q < b. Jinak řečeno, mezi jakýmikoliv dvěma racionálními čísly můžeme vždy nalézt nějaké další racionální číslo. Platí i silnější verze: mezi jakýmikoliv dvěma racionálními čísly existuje nekonečně mnoho jiných racionálních čísel.
- Důsledkem předchozí věty je tak to, že neexistuje nejmenší kladné (nebo největší záporné) racionální číslo. Můžeme k tomu použít důkaz sporem. Nechť m je nejmenší kladné racionální číslo. Pak nemůžeme být schopni nalézt menší kladné racionální číslo. Nicméně podle předchozí věty platí 0 < m a tím pádem 0 < s < m. Nalezli jsme číslo s, které je větší než nula (je kladné) a je menší než číslo m. Což je spor s tím, že m je nejmenší kladné racionální číslo.
Operace s racionálními čísly
Všechny běžné a základní operace jsou popsány v článku zlomky.
Převod periodického čísla na zlomek
Protože je periodické číslo zároveň racionálním číslem, musí jít převézt na zlomek. Ukážeme si postup, jak na to. Na začátku mějme periodické číslo a = 0,333… Zapíšeme
$$a=0,\overline{3}$$
Nyní budeme provádět klasické ekvivalentní úpravy rovnic a vynásobíme celou rovnici deseti:
$$10a=3,\overline{3}$$
Na pravé straně se na jednotky přesunula trojka, za desetinnou čárkou zůstalo stále nekonečně mnoho trojek. Nyní od rovnice odečteme a, tedy odečteme 0,333…, čímž se zbavíme nekonečného rozvoje.
$$9a=3$$
Tenhle krok byl možná trochu komplikovaný, takže to rozepíši. Provedli jsme tuto operaci:
$$\begin{array}{ccccccc} &3&,&3&3&3&\ldots\\ -&0&,&3&3&3&\ldots\\ =&3&,&0&0&0&\ldots \end{array}$$
Horní rovnici 9a = 3 jen vydělíme devíti a získáme výsledek:
$$a=\frac{3}{9}=\frac13$$
Zkusíme si ještě jeden příklad:
$$a=1{,}454545\ldots=1,\overline{45}$$
Postup se bude mírně lišit. V minulém příkladě jsme měli periodu o délce jedna. Přesněji řečeno perioda mohla být dlouhá jakkoliv jsme chtěli, protože se stále opakovala tatáž čísla, ale hodilo se nám ji mít dlouhou jedna. V tuto chvíli máme periodu o délce dva. Opět, mohli bychom si vzít periodu o délce šest, ale nehodí se nám to. Abychom odečetli opravdu celou periodu, musíme tentokrát násobit stem:
$$100a=145,\overline{45}$$
Odečteme jedno a:
$$99a=144$$
A vydělíme 99:
$$a=\frac{144}{99}=\frac{16}{11}$$
Když si na kalkulačce zkusíte vydělit tato čísla, vyjde vám právě 1,454545… Většina kalkulaček ovšem zaokrouhluje, takže vám to může ukázat trošku jiný výsledek.
Zajímavost s 0,9999…
Ještě pro zajímavost si zkusíme převézt na zlomek periodické číslo
$$a=0,\overline{9}$$
Vynásobíme deseti:
$$10a=9,\overline{9}$$
Odečteme a:
$$9a=9$$
Vydělíme devíti:
$$a=1$$
Vidíme, že jsme dostali jedničku, tedy platí, že číslo 0,999… je rovno číslu 1.