Rovnice přímky v prostoru

Kapitoly: Parametrické vyjádření přímky, Obecná rovnice přímky, Normálový vektor přímky, Směrnicový tvar přímky, Rovnice přímky v prostoru

Předchozí články se zabývaly analytickým vyjádřením přímky v rovnice. V tomto článku si ukážeme, jak přímku analyticky vyjádřit v prostoru.

Parametrické vyjádření přímky v prostoru

U parametrického vyjádření přímky v rovině jsme si vysvětlili, že pokud máme bod A, kterým prochází přímka p, a směrový vektor $\vec{\mathbf{u}}$, pak platí, že každý bod X této přímky p můžeme vyjádřit jako

$$ X = A + t\cdot \vec{\mathbf{u}},\qquad t\in \mathbb{R}. $$

Číslu t říkáme parametr. Předchozí rovnice vede ke známé soustavě rovnic

$$\begin{eqnarray} x &=& a_1 + t\cdot u_1\\ y &=& a_2 + t\cdot u_2\\ \end{eqnarray}$$

Můžeme se podívat na obrázek:

Přímka p a směrový vektor \vec{\mathbf{u}} Přímka p a směrový vektor $\vec{\mathbf{u}}$

Pokud k bodu A přičteme nějaký t-násobek směrového vektoru $\vec{\mathbf{u}}$, získali bychom bod B. A takto pro každý bod přímky.

Tato myšlenka je přitom použitelná i v případě, kdy bychom se pohybovali v prostoru. I v prostoru bychom přímku p mohli určit bodem A, kterým tato přímka prochází a jejím směrovým vektorem $\vec{\mathbf{u}}$ a následně by pro každý bod X této přímky platilo, že

$$ X = A + t\cdot \vec{\mathbf{u}},\qquad t\in \mathbb{R}. $$

Vidíme, že dostáváme úplně stejnou rovnici. Jen s tím rozdílem, že se pohybujeme v prostoru, takže body X a A budou mít tři souřadnice, ne dvě a stejně tak směrový vektor $\vec{\mathbf{u}}$ bude třísložkový. Rovnice pak povede k soustavě tří rovnic, namísto dvou:

$$\begin{eqnarray} x &=& a_1 + t\cdot u_1,\\ y &=& a_2 + t\cdot u_2,\\ z &=& a_3 + t\cdot u_3,\\ \end{eqnarray}$$

kde x, y, z jsou souřadnice bodu X[x, y, z], který se nachází někde na přímce, $\vec{\mathbf{u}}=(u_1, u_2, u_3)$ je směrový vektor a A[a1, a2, a3] je bod v prostoru, kterým tato přímka prochází.

Odkazy a zdroje