Rovnice roviny

Rovinu můžeme, stejně jako přímku, vyjádřit pomocí několika způsobů. Začneme nejjednoduším, parametrickým vyjádřením roviny.

Parametrické vyjádření roviny

Vzpomeneme si nejdříve na to, jak jsme určovali parametrickou rovnici přímky p. Zvolili jsme si bod A, který procházel přímkou p a pak směrový vektor $\vec{\mathbf{u}}$. Pokud jsme k bodu A přičetli nějaký t-násobek směrového vektoru, získali jsme nějaký bod přímky p. Pro každý bod X, který leží na přímce, jsme tak získali rovnici

$$ X = A + t\cdot \vec{\mathbf{u}},\quad t\in \mathbb{R}. $$

Podobnou úvahou můžeme dojít k rovnici roviny. Na popsání roviny potřebujeme dva různé nenulové vektory, které nejsou kolineární, tj. které nejsou rovnoběžné, a samozřejmě bod A, kterým tato rovina prochází. Vektory nesmí být kolineární proto, aby neležely na jedné přímce. Jedna přímka nám rovinu neurčí, jedna přímka může být obsažena v nekonečně mnoha rovinách.

Můžeme na to jít i jinak — přímku jsme schopni určit pomocí dvou různých bodů A, B. Těmito body nicméně prochází nekonečně mnoho rovin — pokud ale k těmto bodům přidáme ještě jeden odlišný bod C, pak už jednoznačně definujeme rovinu.

Pokud tak máme tři různé body A, B, C, můžeme sestrojit dva různé vektory $\vec{\mathbf{u}}=\vec{AB}$ a $\vec{\mathbf{v}}=\vec{AC}$. Tyto dva vektory a například bod A nám definují rovinu. Připomeňme si sčítání vektorů:

Součet dvou vektorů u+v Součet dvou vektorů u + v

Vidíme, že součtem dvou vektorů můžeme získat vektor, který má souřadnice „mezi“ těmi dvěma vektory. Postupný sčítáním různých násobků vektorů $\vec{\mathbf{u}}$ a $\vec{\mathbf{v}}$ pak jsme schopni zaplnit celou rovinu. Můžeme tak napsat parametrické vyjádření roviny, která je určena vektory $\vec{\mathbf{u}}, \vec{\mathbf{v}}$ a která prochází bodem A:

$$ X = A + t\cdot \vec{\mathbf{u}} + s\cdot \vec{\mathbf{v}}, \quad t, s \in \mathbb{R} $$

kde X je nějaký bod roviny. Pro každý bod roviny jsme schopni nalézt takové t a s, aby rovnice platila. Tuto rovnici můžeme ještě rozepsat do soustavy rovnic. Předpokládáme, že X[x, y, z], A[a1, a2, a3], $\vec{\mathbf{u}}=(u_1, u_2, u_3)$ a $\vec{\mathbf{v}}=(v_1, v_2, v_3)$.

\begin{eqnarray} x &=& a_1 + t \cdot u_1 + s \cdot v_1 \\ y &=& a_2 + t \cdot u_2 + s \cdot v_2 \\ z &=& a_3 + t \cdot u_3 + s \cdot v_3 \\ \end{eqnarray}

Příklad

Zjistěte, zda v rovině, která je určena body A[2, 3, 4], B[3, 7, −1], C[−5, 4, 4] leží bod Q[0, 3, 5] nebo bod.

Jako první si sestavíme rovnici roviny. Určíme vektory $\vec{\mathbf{u}}$ a $\vec{\mathbf{v}}$, přičemž $\vec{\mathbf{u}}=\vec{AB}$ a $\vec{\mathbf{v}}=\vec{AC}$. Bude tak platit:

\begin{eqnarray} \vec{\mathbf{u}}&=&B-A=[3,7,-1]-[2,3,4]=[1,4-5]\\ \vec{\mathbf{v}}&=&C-A=[-5,4,4]-[2,3,4]=[-7,1,0] \end{eqnarray}

Rovina prochází bodem A, takže napíšeme soustavu rovnic:

\begin{eqnarray} x &=& 2 + t \cdot 1 - s \cdot 7 \\ y &=& 3 + t \cdot 4 + s \cdot 1 \\ z &=& 4 - t \cdot 5 + s \cdot 0 \\ \end{eqnarray}

Nyní zjistíme, jestli touto rovinou prochází bod Q[0, 3, 5]. To uděláme tak, že za x, y, z dosadíme právě čísla 0, 3, 5 a vyřešíme soustavu rovnic. Takže dostáváme soustavu:

\begin{eqnarray} 0 &=& 2 + t \cdot 1 - s \cdot 7 \\ 3 &=& 3 + t \cdot 4 + s \cdot 1 \\ 5 &=& 4 - t \cdot 5 + s \cdot 0 \\ \end{eqnarray}

Z poslední rovnice můžeme osamostatnit t:

\begin{eqnarray} 5 &=& 4 - t \cdot 5 + s \cdot 0 \\ 5 &=& 4 - t \cdot 5\\ 1 &=& - t \cdot 5\\ t \cdot 5 &=& -1\\ t &=& -\frac{1}{5} \end{eqnarray}

Dosadíme t do druhé rovnice:

\begin{eqnarray} 3 &=& 3 + t \cdot 4 + s \cdot 1 \\ 3 &=& 3 - \frac{1}{5} \cdot 4 + s \cdot 1 \\ 0 &=& -\frac{4}{5} + s \cdot 1 \\ s &=& \frac{4}{5} \end{eqnarray}

A nakonec dosadíme hodnoty t a s do první rovnice, abychom zjistili, jestli má rovnice smysl:

\begin{eqnarray} 0 &=& 2 + t \cdot 1 - s \cdot 7 \\ 0 &=& 2 - \frac{1}{5} \cdot 1 - \frac{4}{5} \cdot 7 \\ 0 &=& \frac{10}{5} - \frac{1}{5} - \frac{28}{5}\\ 0 &=& -\frac{19}{5} \end{eqnarray}

Rovnice nedává smysl, celá soustava tam nemá řešení, bod Q[0, 3, 5] není bodem roviny.