Složený úrok

Úrok skládáme ve chvíli, kdy jej máme aplikovat vícekrát. Pokud tak máme dluh, který se úročí jednou ročně a dlužíme pět let, bude dluh úročen pětkrát — mluvíme pak o složeném úroku.

Složený úrok

Pokud se dlužná částka úročí několikrát, hovoří se o složeném úroku. V předchozím vzorci jsme používali procenta, v následujícím už bude jednodušší převézt procenta na obyčejné desetinné číslo. To provedeme jednoduše, vydělíme procenta stovkou. Pokud jsme měli úrok 50 %, dostanete hodnotu 0,5, tedy jednu polovinu. Pokud byl úrok 7 %, dostanete číslo 0,07. Toto desetinné číslo budu značit písmenem „d“. Vzorec by mohl vypadat takto:

$$d=\frac{\mbox{úroková míra}}{100}$$

Pokud tímto číslem vynásobíme dlužnou částku, získáme přímo úrok. Předpokládejme, že nám strýček Vik půjčil dva miliony korun s ročním úrokem 10 %. V desetinném čísle 0,1. Po jednom roku tak máme úrok 2 000 000 · 0,1 = 200 000. Tedy zaplatíme o 200 000 více, než jsme si půjčili. Jaký úrok bude v dalším roce? Musíme vzít původní částku, přičíst první úrok a opět vynásobit 0,1:

$$(2{,}000,000+200{,}000)\cdot0{,}1=220{,}000$$

O další rok později už bychom na úrocích zaplatili 220 000, tedy více než v prvním roce.

Pokud chceme získat přímo dlužnou částku, ne jen úrok, stačí k úrokové míře ve formě desetinného čísla přičíst jedničku a vynásobit s tímto výrazem dlužnou částku:

$$2{,}000,000\cdot1{,}1=2{,}200,000$$

Po prvním roce bychom tak dlužili 2 200 000. Pokud chceme spočítat dlužnou částku po třech letech, vynásobíme to 1,1 několikrát za sebou:

$$((2{,}000,000\cdot1{,}1)\cdot1{,}1)\cdot1{,}1=2{,}662,000$$

Z toho už se nám pomalu rýsuje vzorec, protože u násobení nezáleží na pořadí, ani na závorkách, takže výraz můžeme přepsat takto:

$$2{,}000,000\cdot(1{,}1\cdot1{,}1\cdot1{,}1)$$

A to už jen přepíšeme pomocí mocnin:

$$2{,}000,000\cdot1{,}1^3$$

Z tohoto už můžeme hladce odvodit obecný vzorec.

Finální vzorec se složeným úrokem

Následuje vzorec celého složeného úroku, dále ho vysvětlím:

$$j_t=j_0\cdot(1+d)^t$$

Písmeno „j“ představuje jistinu, tedy dlužnou částku. Dolní index pak udává, kolik zúročení už má za sebou. Symbol j₀ tak značí částku, která ještě neprošla žádným zúročením — je to částka, kterou jsme na začátku dostali (dva miliony od strýčka Vika). Písmeno „t“ označuje počet zúročení, které chceme počítat. Pokud chceme počítat na deset let dopředu, bude platit t = 10. Symbol j_t pak značí výsledný úrok, který zaplatíme po t zúročeních. Písmeno „d“ značí úrokovou míru v desetinném zápise (viz výše).

Zkusíme si spočítat, jaký úrok bychom zaplatili, pokud celou částku vrátili strýčkovi Vikovi až za 15 let:

$$j_t=j_0\cdot(1+d)^t=2{,}000,000\cdot(1+0.1)^{15}=8{,}354,496$$

Upozorňuji, že toto není přímo úrok, ale výsledná dlužná částka. Pokud bychom chtěli pouze úrok, museli bychom odečíst původní dlužnou částku, tedy ještě minus dva miliony: 6 354 496.

Příklad

Pavel si chtěl koupit nové auto, samozřejmě na něj neměl, takže si půjčil půl milionu, 500 000. Úroková míra byla 8 % a úročilo se vždy každý rok. Pavel hodně rozhazoval, takže za první rok splatil pouze dvacet tisíc, 20 000. Dlužná částka se snížila na 480 000. Jenže na přelomu roku se úročilo a dopadlo to tak, že úrok se vypočítal na 480 000 · 0,08 = 38 400. Na Nový rok tak už Pavel dlužil 480 000 + 38 400 = 518 400. To je více než na začátku.

Pavla to nijak neznepokojilo a znovu splatil pouze 20 000. Dlužil tak 498 400. Po zúročení to naskočilo na 538 272. Dlužná částka byla vyšší než loni i než předloni. Pavlovi to nedošlo a i nadále splácel pouze 20 000 ročně. Splácel to do konce života a stejně umřel s mnohamilionovým dluhem. Takhle radši ne.

Další čtení

Se složeným úrokem úzce souvisí Eulerovo číslo. Nezapomeňte si tedy přečíst, odkud se vzalo Eulerovo číslo. A složený úrok budete potřebovat, pokud budete chtít vědět, jak si spočítat úroky u hypotéky.